1-2和3 圆周运动 相对运动

1.2 圆周运动 一、平面极坐标质点在A点的位置由(r,θ )来 确定. y

y

二、圆周运动的角速度角坐标 θ θ (t ) (运动学方程)角位移 :与 规定的正方向 相同时为正，反之为负

o

y

r

A

xB

xA

角速度

d ω lim t 0 t dt

ro

描述质点转动快慢的物理量，单 位：rad· s-1

x

Δs Δθ r lim 速率 v lim Δt 0 Δt Δt 0 Δt

v(t ) r (t ) 速度

ds v et dt v et r et

y

B

ro

et

A

x

三、圆周运动的切向加速度和法向加速度 角加速度

v vet rωet质点作变速率圆周运动时

dv dv d e a et v t dt dt dt at dv r d r dt dt d 角加速度 dt单位：rad· s-2

o

v2 et 2 v1 et1

r

A

v1 v2 e t1 et 2

切向单位矢量的时间变化率？

v2

Δe t det dθ en lim Δt 0 Δ t dt dt法向单位矢量

o

en

et 2

v1

r

et1A

dv a et v en dt切向加速度 法向加速度

et et 2 et1

dv a et v en dt 切向加速度(速度大小变化)

v2

dv at et r et dt

o

en

et 2

v1

r

A

et1

法向加速度(速度方向变化)

d v 2 an v en ren en dt r 注： v vt vn2

v t

v v2 vn

v1

一般圆周运动加速度

a at an 2 a r et rω ena a2 t

y ao

v

et A en an

at

大小 a

2 n

x

an 方向 θ t an at 1

线量和角量的关系

yRds d A B

ds Rd ds d v R R dt dt 2 v 2 an R R dv d at R R dt dt

o

x

四、匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动1 匀速率圆周运动

常量， 故 at 0,an r d , 有 d dt, 由 dt 如 t 0 时, 0

2

2 a anen rω en

可得： 0 t

2 匀变速率圆周运动 2 常量， 故 at r ,an r

dω 常量， 又 dω dt dt d dt, 如 t 0 时, , 0 t 1 2 可得： θ θ 0 0 t t 2 2 2 0 2 ( 0 )0 0

匀变速率圆周运动与匀变速率直线运动类比

0 t 1 2 θ θ 0 0 t t 2 2 2 0 2 ( 0 )v v0 at 1 2 s s0 v0t at 2 2 2 v v0 2a(s s0 )

例 一质点在水平面内以顺时针方向沿半径为2 m 的圆 形轨道运动。此质点的角速度与运动时间

的平方成 正比，即ω=kt 2 ,k 为待定常数.已知质点在2 s 末的 线速度为 32 m/s 求 t =0.5 s 时质点的线速度和加速度 ω v 解 由题意得 v 32 m/s K 2 2 4 s 3 t Rt 2 ω 4t 2 v Rω 4 Rt 当t =0.5 s 时 dv 2 2 a 8 Rt 8 . 0 m/s v 4 Rt 2.0 m/s τ dt 2 v an 2.0 m/s 2 a an 2 a 2 8.25 m/s 2 R an θ arctan ( ) 13.6 a

例 一汽车在半径 R=200 m 的圆弧形公路上行驶， 其运动学方程为s =20t 0.2 t 2 (SI) . 求 汽车在 t = 1 s 时的速度和加速度大小。 解 根据速度的表达式，有 ds v (1) 19.6 m/s v 20 0.4t dt 2 2 v ( 20 0 . 4 t ) dv an aτ 0.4 R R dt

(20 0.4t ) a a a 0.4 R 2 τ 2 n 2

2

2

(20 0.4 1) a (1) 0.4 200 2

2

2 1 . 44 m/s

2

例 将一根光滑的钢丝弯成一个竖直平面内的曲线，质 点可沿钢丝向下滑动。已知质点运动的切向加速度 为 aτ g sin θ,g 为重力加速度大小， 为切向 与水平方向的夹角. 求 质点在钢丝上各处的运动速度. 解 由题意可知 dv dv ds dv aτ g sin v dt ds dt ds dy vdv g sin ds sin ds 从图中分析看出

y

dy

P

ds

O2

x

sin ds dy

v

v0

vdv

y

y0

2 v gdy v 0 2 g ( y0 y )

1.3 相对运动

一、时间与空间在两个作相对运动的参考系中，时间 的测量是绝对的，空间的测量也是绝对的, 与参考系无关. 时间和长度的的绝对性是经典力学或 牛顿力学的基础.

二、相对运动

物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系

质点在相对作 匀速直线运动的两 个坐标系中的位移 S系 (Oxyz ) 基本参考系 S '系 (O' x' y' z ' ) 运动参考系

yy'P P'

oo'

*

yP

y' u Q r DP'

t 0

xx'

r '

u 是S’系相对S系

o

xx't t

运动的速度

u t o '

yy'

r r ' D 或 r r ' u t速度变换

位移关系

P P'

oo'

*

r r ' u t t v v' u

yP

y' u Q r DP'

t 0

xx'

r '

o

xx't t

u t o '

伽利略速度变换 v v u 绝对速度 v v dr 相对速度 绝对速度 v 牵连速度 u dt dr 加速度关系 相对速度 v dt dv dv' du 牵连速度 u 注意： 当物体运动速度 dt dt dt du 接近光速时，速度变换 0 a a' 若 不成立. dt

例 一个带篷子的卡车，篷高为h=2 m ,当它停在马路边 时，雨滴可落入车内达 d=1 m ,而当它以15 km/h 的 速率运动时，雨滴恰好不能落入车中。求 雨滴的速度矢量。

解 根据速度变换定理

va vr ve

ve

h

d

画出矢量图 h arctan 63.4 d ve 15 va cosα cos 33.5km/h 9.3 m/s

va

ve

vr