第3.4节 抽样分布(袁卫等主编《统计学》,珠江学院)1

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统计学(第三版)

3.4 抽样分布

§3.4.1 三种不同性质的分布 §3.4.2 一个总体参数推断时样本统计量分布 §3.4.3 两个总体参数推断时样本统计量分布

参考：贾俊平《统计学》 (第二版)“第6章 抽样分布”3.4 - 1

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学习目标

1. 2. 3. 4.

区分总体分布、样本分布、抽样分布 理解抽样分布与总体分布的关系 掌握单总体参数推断时样本统计量的分布 掌握双总体参数推断时样本统计量的分布 回顾：概率论的相关知识

3.4 - 2

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§3.4.1 三种不同性质的分布

一. 总体分布 二. 样本分布 三. 抽样分布

3.4 - 3

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总体分布(population distribution)

总体分布：总体中各单位的观察值所形成 的分布。

总体分布通常是未知的。 可以假定总体服从某种分布。总体

3.4 - 4

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样本分布(sample distribution)

样本分布：一个样本中各观察值的分布。

样本分布也称经验分布。 当样本容量n逐渐增大时，样本分布逐渐接 近总体的分布。

样 本

3.4 - 5

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抽样分布(sampling distribution)

抽样分布：样本统计量的概率分布。

随机变量是样本统计量，如样本均值, 样本 比率，样本方差等。抽样分布是一种理论概率分布，由容量相 同的所有可能样本得到。 抽样分布提供了样本统计量的信息，是进 行推断的理论基础，也是抽样推断科学性 的重要依据。

3.4 - 6

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统计学(第三版)总体

抽样分布(sampling distribution)

样 本 3.4 - 7

计算样本统计 量 例如：样本均 值、比率、方 差

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统计学 §3.4.2 样本统计量的抽样分布(第三版)(一个总体参数推断时)

(见教材P98-109) 一. 样本均值的抽样分布 二. 样本比率的抽样分布 三. 抽样方差的抽样分布

3.4 - 8

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一、样本均值的抽样分布

3.4 - 9

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样本均值的抽样分布

1. 容量相同的所有可能样本的样本均值的概 率分布。2. 一种理论概率分布。 3. 推断总体均值 的理论基础。

3.4 - 10

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样本均值的抽样分布(例题分析)

【例3.31】设一个总体，含有4个元素(个体) ,即总体 单位数N=4。4 个个体分别为x1=1、x2=2、x3=3 、x4=4 。总体的均值、方差及分布如下：总体分布.3

均值和方差

xi 1

N

i

.2 .1 013.4 - 11

2.52

N

( xi )2 3 4

N

2

i 1

1.25 N

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样本均值的抽样分布(例题分析)

现从总体中抽取n=2的简单随机样本，在重复抽 样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为所有可能的n = 2 的样本(共16个)第一个 观察值 1 第二个观察值 1 1,1 2 1,2 3 1

,3 4 1,4

23 43.4 - 12

2,13,1 4,1

2,23,2 4,2

2,33,3 4,3

2,43,4 4,4

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样本均值的抽样分布(例题分析)

计算出各样本的均值，如下表。

于是，样本均值的抽样分布：16个样本的均值(x) 第一个 观察值 1 2 3 4 第二个观察值 1 1.0 1.5 2.0 2.5 2 1.5 2.0 2.5 3.0 3 2.0 2.5 3.0 3.5 4 2.5 3.0 3.5 4.0.2 .1 .3 P (X )

01.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 X

样本均值的抽样分布

3.4 - 13

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样本均值的分布与总体分布的比较 (例题分析)抽样分布

总体分布.3

P(X)

.3 .2 .1 0

.2 .1 0

1

2

3

4

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

X

= 2.5σ2 =1.253.4 - 14

X 2.5 X 0.6252

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样本均值的抽样分布 (正态总体，方差 2已知时)

当总体服从正态分布N(μ,σ2)时，来自该总体的所有 容量为n的样本的均值 X也服从正态分布， X 的数 学期望为μ,方差为σ2/n。即 X~N(μ,σ2/n) =10n=4 x 5

n =16 x 2.5

= 50

X

x 50

X

总体分布3.4 - 15

抽样分布

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样本均值的抽样分布(任意总体，方差 2已知，大样本时)

中心极限定理：设从均值为 、方差为 2的一个任意总 体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽 样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布。 x 一个任意分 布的总体

n当样本容量足够 大时(n 30) , 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布。

3.4 - 16

x

X

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中心极限定理(central limit theorem)

X

的抽 样分 布趋 于正 态分 布的 过程3.4 - 17

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统计学 样本均值的抽样分布与总体分布 (第三版) 的关系总体分布

正态分布大样本

非正态分布小样本

正态分布3.4 - 18

正态分布

非正态分布

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样本均值的抽样分布(数学期望与方差)

1. 样本均值的数学期望E( X )

2. 样本均值的方差

重复抽样

X 2

2

修正系数2

n

2 不重复抽样 X

N n n N 1

3.4 - 19