第3节 定积分的换元法和分部积分法

高等数学同济六版(上)

第三节 定积分的换元法和 分部积分法不定积分

第五章

换元积分法分部积分法

定积分

换元积分法分部积分法

一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法43

高等数学

●

戴本忠

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学习指导1.教学目的：掌握运用换元公式求解定积分问题的方法；掌 握用分部积分法公式计算定积分的方法。 2.基本练习： (1) 用换元法计算定积分； (2) 被积函数具有奇偶性或周期性的定积分计算； (3) 利用换元法和被积函数的奇偶性及周期性来证明某些 定积分公式。 (4) 用分部积分法计算定积分。 3.注意事项： (1)换元法的目的是将复杂的或者抽象的被积函数变量代 换为常见的积分形式，所以基本的积分公式一定要熟记， 要掌握换元法所遵循的几个原则以正确地应用换元法。 (2)运用分部积分公式的关键是正确地选取u(x) 和v(x) 。熟 练掌握运用分部积分法的几种常用类型可帮助对u(x) ,v(x) 的选取。43

高等数学

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戴本忠

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定积分的换元积分法根据

a f ( x )dx F (b) F (a ).微积分基本公式

b

不定积分法

定积分法，

且使用方法与相应的不定积分法类似。

43

高等数学

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戴本忠

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定理 假设

(1) f ( x )在[a , b]上连续;

( 2)函数x ( t )在[ , ]上单值且有连续导数;

( 3)当t在区间[ , ]上变化时, x ( t )的值在[a , b] 上变化, 且 ( ) a , ( ) b, 那么有换元公式

a f ( x )dx b a

b

f [ ( t )] ( t )dt .

换元公式反向应用 f [ ( x)] ( x)dx f (t )dt 43

高等数学

●

戴本忠

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证

设 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数 , 则

a f ( x )dx F (b) F (a ),考察函数 ( t ) F [ ( t )],

b

x (t )

dF dx 因为 ( t ) f ( x ) ( t ) f [ ( t )] ( t ), dx d t

所以 ( t ) 是 f [ ( t )] ( t ) 的一个原函数,

从而43

f [ ( t )] ( t )dt ( ) ( ),高等数学 戴本忠5

●

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所以 ( ) ( ) F [ ( )] F [ ( )]

由于 ( ) a , ( ) b, F (b) F (a ),

a f ( x )dx F (b) F (a ) ( ) ( )

b

43

f [ ( t )] ( t )dt .高等数学 戴本忠6

●

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注意 (1) 当 时, 换元公式仍然成立; ( 2)用 x ( t )把变量x换成新变量 t时, 积分限也 相应的改变. ( 3)求出f [ ( t )] ( t )的一个原函数 ( t )后,不必像

计算不定积分那样再把 ( t )换成原变量 x的函数 ,而 只要把新变量t的上下限分别代入 ( t )相减就行了.换元必换限; 换元前后，上限对上限、下限对下限； 不引入新的变量记

号，积分限不变；引入新的变量记 号，积分限跟着变。配元不换限

(t ) (t )43

(t ) d (t )高等数学●

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例1 解

计算

a

0

a 2 x 2 dx (a 0).

设 x a sin t , 则 dx a cos tdt , 且π 当 x 0 时, t 0; 当 x a 时, t . 2

于是

a

0

a x dx a2 2

π 2 2 0

cos tdt

2

1 cos t (1 cos 2t ) 22

y

y a x

2

2

a 2

2

π 2 0

(1 cos 2t )dtπ 2 0

43

o

a x

a 1 πa 2 [t sin 2t ] . 2 2 4高等数学●

2

戴本忠

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例2 解

计算 cos 5 x sin xdx .0

π 2

令 t cos x ,

dt sin xdx,

π x t 0, x 0 t 1, 2

所以

0

π 2

cos x sin xdx t 5dt5

0

1

凑微分如何解？

t 6

6 1

0

1 . 6

提示： 换元一定要换积分限 不换元积分限不变 43

高等数学

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例3 解

计算

π

0

sin3 x sin5 xdx .3 5

因为 f ( x ) sin x sin x cos x sin x ,

3 2

所以

0

π

sin x sin xdx cos x sin x dx3 5 0

π

3 2

π 2 0

cos x sin x dx cos x sin x dx3 2π 2

3 2

sin x 5 2

π 2 0

π π 2

3 2

d sin x sin x d sin x2 sin x 55 π 2π 2

π π 2

3 2

2 sin x 543

0

4 . 5高等数学●

注意积 分区间 内函数 符号的 变化！ 戴本忠10

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例4

计算

4

0

x 2 dx . 2x 1

t2 1 解 设 2 x 1 t , 则x , dx tdt , 且 2 当 x 0 时, t 1;当 x 4 时, t 3.

于是

4

0

t2 1 2 3 x 2 dx 2 tdt 1 2x 1 t 3 3 1 t 1 3 ( t 2 3)dt [ 3t ]1 2 1 2 3 1 27 1 22 [( 9) ( 3)] . 2 3 3 3高等数学●

43

戴本忠

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例5.(1) 若 (2) 若 证:a 0

偶倍奇零

则

a

a

f ( x ) dx 2 f ( x ) dx0

a

则 a a

a

a

f ( x ) dx 0a

a f ( x) dx a f ( x) dx 0 f ( x) dx f ( t ) d t f ( x) dx [ f ( x ) f ( x ) ] dx0 0 a 0

令 x t

43

f ( x) f ( x)时 f ( x) f ( x)时高等数学●

戴本忠

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43

高等数学

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戴本忠

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设 f x 是以 T 为周期的连续函数，则

a

a T

f x dx 0 f x dxT

证 令x a t , 则dx dt

x a, t 0 x a T,t Ta T

a

f ( x)dx f (a t )dt f (a t )d (a t )0 0

T

T

43

T

0

f (u )du f ( x)dx0

T

高等数学

●

戴本忠

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例6

xe x , x 0, 设 f ( x) 1 , 1 x 0, 1 cos x2

计算 f ( x 2)dx .1

4

解

设 x 2 t , 则 dx dt , 且

1 cos t (1 cos 2t ) 22

当 x 1 时, t 1; 当 x 4, t 2.

于是

4

1

2 dt t 2 te d t f ( x 2)dx f

( t )dt 1 1 1 cos t 0

2

0

t 0 1 t 2 2 1 1 4 1 [tan ] 1 …… 此处隐藏：2277字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……