第十一知识块 推理与证明、数系的扩充与复数的引入 (3)

第3课时 数学归纳

一、填空题

1． 平面内有n(n≥2)个圆心在同一直线l上的半圆，其中任何两个都相交，且都在直线l的同侧(如图)，则这些半圆被所有的交点最多分成的圆弧的段数为________．

解析：设最多分成的圆弧的段数为f(n)，则由题图容易发现，f(2)＝4＝22，f(3)＝9＝32，f(4)＝16＝42.

答案：n2

2．(2010·江西吉水一中)设n∈N*，则4×6n＋5n

＋＋1除以20的余数为________． 解析：取n＝1，则4×6n＋5n1＝24＋25＝49，被20除余数为9.

答案：9

3．用f(n)表示凸n边形的内角和，则f(k＋1)＝f(k)＋________.

解析：因为由凸k边形变为凸k＋1边形时，其内角增加了一个三角形的内角和，所以f(k＋1)＝f(k)＋π.

答案：π

4．用数学归纳法证明“1＋2＋3＋ ＋n＋ ＋3＋2＋1＝n2(n∈N*)”时，从n＝k到n＝k＋1时，该式左边应添加的代数式是________．

解析：∵当n＝k＋1时，左边＝1＋2＋ ＋k＋(k＋1)＋k＋ ＋2＋1，

∴从n＝k到n＝k＋1时，应添(k＋1)＋k＝2k＋1.

答案：2k＋1

111135. (江苏南京模拟)用数学归纳法证明不等式＋ ＋的过程，由n＝k推导nn＋1n＋2n＋n24

＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是________．

解析：不等式的左边增加的式子是

1 2k＋1 2k＋2 1111＋. 2k＋12k＋2k＋1 2k＋1 2k＋2 答案：

6．用数学归纳法证明“对于足够大的正整数n，总有2n>n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个最小值n0应当是______．

解析：n＝1时，21>13，n＝2,3， ，9时2n<n3，n＝10时，210＝1 024>103，∴n0＝10. 答案：10

7．数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝

an的表达式为________．

2222解析：a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，猜测an＝. 713196n－5

答案：an＝

二、解答题

8．用数学归纳法证明：n111＝. 1×55×9 4n－3 4n＋1 4n＋126n－5an∈N*)，依次计算出a2，a3，a4后，归纳、猜测得出3an＋1

1111证明：(1)当n＝1时，左边＝，右边＝，左边＝右边，等式成立． 1×554×1＋15

(2)假设当n＝k时等式成立，即k111＋ ＋＝， 1×55×9 4k－3 4k＋1 4k＋1

1111则＋ 1×55×9 4k－3 4k＋1 4k＋1 4k＋5

4k2＋5k＋1 4k＋1 k＋1 k＋1k1＝＝＝ 4k＋1 4k＋1 4k＋5 4k＋1 4k＋5 4k＋1 4k＋5 4 k＋1 ＋1

即当n＝k＋1时等式成立．∴由(1)(2)知，等式成立．

11111119． (2010·江西莲塘一中测试)用数学归纳法证明：1－＋－＋ ＋－＝＋2342n－12nn＋1n＋2

＋ ＋1. 2n

111证明：(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝ 222

11111(2)假设当n＝k时命题成立，即1－＋ ＋－ 2342k－12k

111111111＝＋ ＋那么当n＝k＋1时，左边＝1－－＋－2k234k＋1k＋22k－12k2k＋11111111111＋＝＋＋ ＋＋. 2k2k＋12k＋2k＋2k＋32k＋2k＋1k＋22k＋12k＋2

上式表明当n＝k＋1时命题也成立．由(1)和(2)知，命题对一切自然数均成立．

111110．(2010·通州市高三素质检测)用数学归纳法证明不等式：n＋＞1(n∈N*nn＋1n＋2

且n＞1)．

11113证明：(1)当n＝2时，不等式的左边为＋＋＞1，故n＝2时表达式成立； 23412

1111(2)假设当n＝k(k＞1，k∈N*)时不等式成立，即k1 kk＋1k＋2

那么，当n＝k＋1时，由k≥2得

1111111111＋＋＋＋ ＋＋ ＋＞1－＞1－＋kk＋1k＋kk＋1k＋2k＋1k＋2 k＋1 k＋2k＋1

1 1＋11 ＝1－1＋2k＋1

1＋k－ k＋

k k＋1 k＋1 k＋1 k＋1 k＋1 当k≥2时，k2－k－1＞0成立，故当n＝k＋1时不等式也成立

根据(1)和(2)可知，当n＞1，n∈N*时不等式都成立．

1．试证：当n为正整数时，f(n)＝32n2－8n－9能被64整除． ＋2

证明：证法一：(1)当n＝1时，f(1)＝34－8－9＝64，命题显然成立．

(2)假设当n＝k时，f(k)＝32k2－8k－9能被64整除． ＋

由于32(k1)2－8(k＋1)－9＝9(32k2－8k－9)＋9·8k＋9·9－8(k＋1)－9＝9(32k2－8k－9)＋64(k＋1)．即f(k＋1)＝9f(k)＋64(k＋1)，∴n＝k＋1时命题也成立． ＋＋＋＋

根据(1)(2)可知，对任意的n∈N*，命题都成立．

证法二：(1)当n＝1时，f(1)＝32－8－9＝64，命题显然成立．

(2)假设当n＝k时，f(k)＝32k2－8k－9能被64整除，由归纳假设，设32k2－8k－9＝64m(m

＋为大于1的自然数)，将32k2＝64m＋8k＋9代入到f(k＋1)中得f(k＋1)＝9(64m＋8k＋9)－8(k

＋1)－9＝64(9m＋k＋1)，∴n＝k＋1时命题成立．根据(1)(2)可知，对任意的n∈N*命题都成立． ＋＋

n1112．已知Sn＝1＋＋＋ ＋n，求证： >1＋n≥2，k∈N*)． 232

111252证明：(1)当n＝2时， ＝1＋＋＝>1＋，即n＝2时命题成立． 234122

k111(2)设n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即S2k＝1＋＋ ＋＋2， 232k11111当n＝k＋1时，S2k＋1＝1＋＋ ＋＋＋2 2322＋12

，

n故当n＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)知，对n∈N*，n≥2，不等式S2n>1＋ 2