2012中考数学专题：几何图形证明与计算题分析(2)

来源：网络收集时间：2026-08-28

导读：在Rt△BCF中，BC2＋CF2＝BF2，即y2＋[(n－1)x]2＝[(n＋1)x]2． ∴y＝． ∴ADAB ynx ） 9 F B C 11.如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长

在Rt△BCF中，BC2＋CF2＝BF2，即y2＋[(n－1)x]2＝[(n＋1)x]2． ∴y＝

．

∴ADAB ynx

）

11.如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G. （1）求证：点F是BD中点；（2）求证：CG是⊙O的切线；（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．

[解析] (1)证明：∵CH⊥AB，DB⊥AB， ∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF ∴

EHAECE

，

BFAFFD

∵HE＝EC，

∴BF＝FD (2)方法一：连接CB、OC， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90° ∵F是BD中点，

∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO ∴∠OCF=90°, ∴CG是⊙O的切线

(3)解：由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC 可证得：FA＝FG，且AB＝BG

1 由切割线定理得：（2＋FG）2＝BG×AG=2BG2 ○2 在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2＝FG2－BF2 ○1、○2得：FG2-4FG-12=0 由○

解之得：FG1＝6，FG2＝－2（舍去） ∴AB＝BG＝42 ∴⊙O半径为22

12 . .如图，已知△ABC，以BC为直径，O为圆心的半圆交AC于点F，点E为弧CF的中点，连接BE交AC于点M，AD为△ABC的角平分线，且AD BE，垂足为点H. （1）求证：AB是半圆O的切线；（2）若AB 3，BC 4，求BE的长. 解答：（1）证明：连接EC， ∵AD⊥BE于H，∠1＝∠2， ∴∠3＝∠4 ∴∠4＝∠5＝∠3，又∵E为弧CF中点， ∴∠6＝∠7， ∵BC是直径， ∴∠E＝90°， ∴∠5＋∠6＝90°，又∵∠AHM＝∠E＝90°， ∴AD∥CE， ∴∠2＝∠6＝∠1， ∴∠3＋∠7＝90°，又∵BC是直径，

∴AB是半圆O的切线；（2）∵AB 3，BC 4。由（1）知， ABC 90， ∴AC 5.

在△ABM中，AD BM于H，AD平分 BAC， ∴AM AB 3， ∴CM 2.

由△CME∽△BCE，得∴EB 2EC， ∴BE

A A

ECMC1

EBCB2

13．（2011成都）已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙O，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥AC，垂足为K．过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB．⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．（1）求证：AE＝CK；（2）如果AB＝a，AD＝

a（a为大于零的常数），求BK的长： 3

（3）若F是EG的中点，且DE＝6，求⊙O的半径和GH的长．解答：（1）证明：∵四边形据ABCD是矩形， ∴AD＝BC，

∵BK⊥AC，DH∥KB， ∴∠BKC＝∠AED＝90°， ∴△BKC≌△ADE， ∴AE＝CK；

（2）∵AB＝a，AD＝1

a＝BC，

∴AC AB2 BC2 a2

(12a3a) 3

∵BK⊥AC，∴△BKC∽△ABC，

∴

ACBC BK

AB， a∴31

aBK， 3

a∴BK＝a，

∴BK＝10

a．

（3）连接OF， ∵ABCD为矩形， ∴

EFED OF

， ∴EF＝1ED＝122

×6＝3， ∵F是EG的中点， ∴GF＝EF＝3， ∵△AFD≌△HBF， ∴HF＝FE＝3＋6＝9， ∴GH＝6，

∵DH∥KB，ABCD为矩形，

∴AE2＝EF ED＝3×6＝18， ∴AE＝32， ∵△AED∽△HEC，

∴

AEEC EDHE 1

， ∴AE＝1

AC，

∴AC＝92 则AO＝

2．

14.（2011 綦江县）如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；

（2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长．解答：解：（1）∵△ABC与△DCE是等边三角形， ∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°， ∴∠ACD=∠BCE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）；（2）过点C作CH⊥BQ于H，

∵△ABC是等边三角形，AO是角平分线， ∴∠DAC=30°， ∵△ACD≌△BCE， ∴∠QBC=∠DAC=30°， ∴CH=BC=×8=4， ∵PC=CQ=5，CH=4， ∴PH=QH=3， ∴PQ=6．

15. (2010湖北省荆门 ) 如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC∶CA＝4∶3，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点，

(1)求证：AC·CD＝PC·BC；

(2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；

(3)当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．答案23．解：(1)∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°．又∵PC⊥CD， ∴∠PCD＝90°．而∠CAB＝∠CPD， ∴△ABC∽△PCD． ∴

ACCP BCCD

． ∴AC·CD＝PC·BC；

(2)当点P运动到AB弧中点时，过点B作BE⊥PC于点E．∵P是AB中点，

∴∠PCB＝45°，CE＝

＝

又∠CAB＝∠CPB， ∴tan∠CPB＝tan∠CAB＝4．

∴PE＝

＝34

) 从而PC＝PE＋

EC．

由(1)得CD＝

(3)当点P在AB上运动时，S△PCD＝12

PC·CD．

由(1)可知，CD＝4PC． ∴S△PCD＝

2PC2．故PC最大时，S△PCD取得最大值；而PC为直径时最大，∴S△PCD的最大值S＝2×52＝50．

第15题图

⌒上一点，过点M作⊙O的切16．（2010 安徽芜湖）如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB,M是劣弧AB线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于点N。（1）求证：PM=PN；

（2）若BD=4,PA=2AO,过B点作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长．

【答案】（1）证明：连结OM, ∵ MP是⊙O的切线， ∴OM⊥MP

∴∠OMD +∠DMP=90°

∵OA⊥OB，∠OND +∠ODM=90° ∵∠MNP=∠OND, ∠ODN=∠OMD

∴∠DMP=∠MNP

∴PM=PN

（2）解：设BC交OM于E, ∵BD=4, ∴OA=OB=2, ∴PA=

OA=3 2

∴PO=5

∵BC∥MP, OM⊥MP, ∴OM⊥BC, ∴BE=

1BC 2

∵∠BOM +∠MOP=90°,在Rt△OMP中，∠MPO +∠MOP=90° ∴∠BOM=∠MPO.

又∵∠BEO=∠OMP=90° ∴△OMP∽△BEO ∴∴

OMBE

OPBO

482BE

, ∴BE= ∴BC=

5255

17．（2010福建宁德）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM. A D ⑴ 求证：△AMB≌△ENB；

⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；

②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由； ⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为3 1时，求正方形的边长. 【答案】解：⑴∵△ABE是等边三角形， ∴BA＝BE，∠ABE＝60°. ∵∠MBN＝60°，

∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN. 即∠BMA＝∠NBE. 又∵MB＝NB，

∴△AMB≌△ENB（SAS）.

⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小.

②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小. 理由如下：连接MN.

由⑴知，△AMB≌△ENB， ∴AM＝EN.

∵∠MBN＝60°，MB＝NB， ∴△BMN是等边三角形. ∴BM＝MN.

∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.

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