2018高考全国2卷理科数学带答案-2018全国二卷理科高考数学答(2)

21．解：

（1）当1a =时，()1f x ≥等价于2(1)e 10x x -+-≤．

设函数2()(1)e 1x g x x -=+-，则22()(21)e (1)e x x g'x x x x --=--+=--． 当1x ≠时，()0g'x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减．

而(0)0g =，故当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥．

（2）设函数2()1e x h x ax -=-．

()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点． （i ）当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点；

（ii ）当0a >时，()(2)e x h'x ax x -=-．

当(0,2)x ∈时，()0h'x <；当(2,)x ∈+∞时，()0h'x >．

所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增． 故24(2)1e

a h =-是()h x 在[0,)+∞的最小值．

理科数学试题 第9页（共11页）

①若(2)0h >，即2

e 4

a <，()h x 在(0,)+∞没有零点； ②若(2)0h =，即2

e 4

a =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点； ③若(2)0h <，即2

e 4

a >，由于(0)1h =，所以()h x 在(0,2)有一个零点， 由（1）知，当0x >时，2e x x >，所以

33342241616161(4)11110e (e )(2)a a a a a h a a a

=-=->-=->． 故()h x 在(2,4)a 有一个零点，因此()h x 在(0,)+∞有两个零点．

综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，2

e 4

a =． 22．．解：

（1）曲线C 的直角坐标方程为22

1416

x y +=． 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=?+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．

（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程 22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①

因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=． 又由①得1224(2cos sin )13cos t t ααα

++=-+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-．

23．解：

（1）当1a =时，24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-??=-<≤??-+>?

理科数学试题 第10页（共11页）

可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤．

（2）()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥．

而|||2||2|x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于|2|4a +≥． 由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞．

21（12分）

已知函数2()e x f x ax =-．

（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥；

（2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ．

解：

（1）()e 2x f x x '=-，()e 2x f x ''=-．

当ln2x <时，()0f x ''<，当ln2x >时，()0f x ''>，所以()f x '在(,ln 2)-∞单调递减，在(ln 2,)+∞单调递增，故()(ln 2)22ln 20f x f ''≥=->，()f x 在(,)-∞+∞单调递增．

因为0x ≥，所以()(0)1f x f ≥=．

（2）当0x >时，设2e ()x

g x a x

=-，则2()()f x x g x =，()f x 在(0,)+∞只有一个零点等价于()g x 在(0,)+∞只有一个零点．

3e (2)()x x g x x

-'=，当02x <<时，()0g x '<，当2x >时，()0g x '>，所以()g x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增，故2

e ()(2)4

g x g a ≥=-． 若2

e 4

a <，则()0g x >，()g x 在(0,)+∞没有零点． 若2

e 4

a =，则()0g x ≥，()g x 在(0,)+∞有唯一零点2x =． 若2

e 4

a >，因为(2)0g <，由（1）知当0x >时，2e 1x x >+，22e 1()1x g x a a x x =->+-，

理科数学试题 第11页（共11页）

故存在1(0,2)x ∈?，使1()0g x >． 4422e e (4)1616a a

g a a a a a

=->- 2e x x >，