第五章 线性代数方程组的直接解法1

(石大)数值计算第五章课件

第五章 线性代数方程组的直接解法/*Direct Method for Solving Linear Algebraic Systems*/

求解 A x = b, A ∈ RCramer法则: 法则: 法则

n× n

det( A) ≠ 0

Di xi = D

i = 1, 2,L , n

所需乘除法的运算量大约为(n+1)!+ )!+n )!+

n=20时，每秒 亿次运算速度的计算机要算 多万年！ 多万年！ 时 每秒1亿次运算速度的计算机要算30多万年直接法 在没有舍入误差的情况下， 在没有舍入误差的情况下，经过有限次 舍入误差的情况下 精确解的方法 运算可以得到方程组的精确解的方法。 运算可以得到方程组的精确解的方法。

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§1 线性代数的基础知识向量范数( 一、 向量范数(/*Vector Norm*/) )

Def 1设

的一个映射， → R 的一个映射，若对 x ∈ R n n 可以推广到 C 与之对应， 存在唯一实数 x 与之对应，且满足 非负性： 非负性： x ≥ 0, x ∈ R n 且 x = 0 x = 0

是R

n

齐次性： 齐次性：λ x

= λ x , x ∈ R , λ ∈ Rn

三角不等性： 三角不等性： x + 则称n

y ≤ x + y , x , y ∈ R范数。 x 的范数。 非负实值 函数

n

x 为 R n 中向量

R 称为赋范线性空间 称为赋范 赋范线性空间

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常用的几种向量范数： 常用的几种向量范数： 设 x 向量范数 1-范数： 范数： 2-范数： 范数：

x 1 = ∑ xi x 2 = (∑ x )i =1 2 i i =1 n 1 2

n

= ( x1 , x2 ,L , xn )

T

= ( x, x )

-范数： ∞ 范数： x ∞ = max xi 1≤ i ≤ n上述3种向量范数统称为 范数(或者Holder范数) 范数) 上述 种向量范数统称为P-范数(或者 种向量范数统称为 范数

x

p

= ( ∑ xi )p i =1

n

1

p

1≤ p < ∞

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设x

= ( x1 , x2 ,L , xn ) ≠ 0T

p n

( ∑ xi )p i =1

n

1

p

= max xi (∑1≤ i ≤ n i =1

xi max xi1≤ i ≤ n

1

)

p

= max xi1≤i ≤n

Q由夹逼定理

1≤ ≤ np

lim = 1p→∞ →∞

x

∞

= max xi1≤ i ≤ n

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两个重要不等式 闵可夫斯基( 闵可夫斯基(Minkowski)不等式： )不等式：

《矩阵理论 及其应用》 及其应用》 蒋正新) (蒋正新)

( ∑ x i + yi )p i =12

n

1

p

≤ ( ∑ xi )p i =1

n

1

p

+ ( ∑ yi )p i =1n

n

1

p

柯西-许瓦滋(Cauchy-Schwartz)不等式： 柯西-许瓦滋( )不等式：

( x , y ) ≤ ( x , x )( y , y ) x , y ∈ R或者

x i yi ≤ ( ∑ x i ) 2 ( ∑ yi ) ∑2 1 i =1 i =1 i =1

n

n

n

2 1

2

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Cauchy-Schwartz不等式的证明 不等式的证明

令u= y 2

( x, y) x2 2

x( x, y) x2

( u, x ) = 02 2

u 2 = ( u, u ) = ( u, y = ( y, y ) 2

x ) = (u, y)2 2 2

( x, y) x2 2

2

= y 2 2

( x, y) x

≥0

( x, y) ≤ x

2 2

y 2 = ( x , x )( y , y )

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阶实对称正定矩阵， 例1:设 A ∈ R n×n是n阶实对称正定矩阵，则 阶实对称正定矩阵

x

A

= ( x Ax )T

1

2

x∈ R

n

= L xT

中的一种向量范数。 是 R n中的一种向量范数。 证明： 只需验证范数的3

个条件成立即可。 证明： 只需验证范数的 个条件成立即可。 个条件成立即可 1 T 非负性： 非负性： x ≠ 0 x = ( x Ax ) 2 A

2

>0A

齐次性： 齐次性： λ x

A

= ( λ x ) A(λ x )T

1

2

= λ x

下三角阵 三角不等性：存在非奇异下三角 三角不等性：存在非奇异下三角阵 L

A = LLT

T

x

A

= ( x LL x )T T

1

2

= (( L x ) ( L x ))T T

1

2

x+ y

A

= L ( x + y) 2 ≤ L x 2 + L yT T T

2

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例2:证明

f = ( ∫ f ( x )dx )2 a

b

1

2

f ( x ) ∈ C [ a , b ]

上的一种范数。 是线性空间 C [a , b] 上的一种范数。 证明： 只需验证范数的3个条件成立即可。 证明： 只需验证范数的 个条件成立即可。 个条件成立即可 非负性： 非负性： f ( x) ≠ 0 齐次性： 齐次性： λb a

fb 2 1 2 a1

2

f = (∫ f ( x)dx) > 02 2 2

f = ( ∫ λ f ( x )dx )

= λ f

三角不等性： 闵可夫斯基( 三角不等性： 闵可夫斯基(Minkowski)不等式： )不等式：

f +g ≤ f + g(∫ [ f (x) + g(x)] dx) ≤ (∫ f (x)dx) +(∫ g (x)dx)b 2 1 2 b 2 1 2 b 2 a a a 1 2

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向量范数的性质： 向量范数的性质： 性质1 性质 证明： 证明：

x , y ∈ R

n

x y ≤ x yx y ≥ y xn

x = x y+ y ≤ x y + y y = y x+ x ≤ y x + xn× n

x y ≤ x y同理

性质2 性质 设

A ∈ R ,则对 R 上每一种范数 , T n x = ( x1 , x2 ,L xn ) ∈ R Th5.1 Ax 都是 ( x1 , x2 ,L xn ) 的n元连续函数。 元连续函数。 元连续函数

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性质3 性质

x

是 ( x1 , x 2 , L x n ) n元连续函数 的 元连续函数

(等价性/*Equivalence Property*/) ) Def 2 等价性 设

α和

上定义的两种范数，如果存在正数 是 R n上定义的两种范数，如果存在正数 βα

c1 , c2 满足 c x 1则称

≤ xn

β

≤ c2 x

α

x ∈ R

n

α和

上等价的向量范数。 β 是 R 上等价的向量范数。 证明见文献[3] 文献

性质4 性质 性质5 性质

向量范数的等价性具有传递性。 向量范数的等价性具有传递性。 传递性 的所有向量范数是彼此等价 彼此等价的 R n 的所有向量范数是彼此等价的。

Th5.2

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性质6 性质

x 2 ≤ ( x1 1+ x2 1+L+ xn 1)22T

2

x 2≤ x1≤ n x

x ∞ ≤ x 2 ≤ n x ∞ 记 y = (1,1,L ,1) T z = ( x1 , x2 ,L, xn ) 1 x1≤ x ∞≤ x1 n 2 = ( x1 1+ x2 1+L+ xn 1) 证明： 证明：仅证设x

= ( x1 , x2 ,L , xn )2 n 2 k =1

T

= ( y, z ) ≤ y2

2 2

z

2 2

x 1 = ( ∑ xk )

=n x

2 2

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矩阵范数( 二、 矩阵范数(/*Matrix Norm*/) )

Def 3设

是 R n× n

→R

n n 的一个映射， 的一个映射，若对 A ∈ R ×

存在唯一实数 非负性： 非负性： A

与之对应， A 与之对应，且满足n× n

可 …… 此处隐藏：3269字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……