2012年福建师大附中高考模拟考试数学理科(3)

xx（2）四边形ABCD的面积

11

S＝(AB·AD+ CB·CD)sinA＝[x(5－x)+x(9－x)]1－cos2A． 22

x22

记g(x)＝(x－4)( x－14x＋49)，x∈(2，5)．

222

由g′(x)＝2x( x－14x＋49)＋(x－4)( 2 x－14)＝2(x－7)(2 x－7 x－4)＝0，

1

解得x＝4(x＝7和x＝－舍)． ????????? 10分

2

所以函数g(x)在区间(2，4)内单调递增，在区间(4，5)内单调递减．? 11分 因此g(x)的最大值为g(4)＝12×9＝108．

所以S的最大值为108＝63．? 12分

2

答：所求四边形ABCD面积的最大值为63m． ??? 13分

＝x(7－x)

222222

1－()＝(x－4)(7－x)＝(x－4)( x－14x＋49)．?? 9分

NP?2NQ??19．解：（1）??Q为PN的中点且GQ⊥PN

GQ?PN?0?? ?GQ为PN的中垂线?|PG|=|GN|-------------（3分）

∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长a?3，

x2y2??1 -----（6分） 半焦距c?5，∴短半轴长b=2，∴点G的轨迹方程是94 （2）因为OS?OA?OB，所以四边形OASB为平行四边形 若存在l使得|OS|=|AB|，则四边形OASB为矩形?OA?OB?0???（7分）

?x?2?x?2?若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，由?2 得??xy225?1?y????94?3?16?0,与OA?OB?0矛盾，???（8分） 9故l的斜率存在，设l的方程为y?k(x?2),A(x1,y1),B(x2,y2)

?y?k(x?2)? 由?x2y2?(9k2?4)x2?36k2x?36(k2?1)?0????（10分）

?1??4?936k236(k2?1)?x1?x2?2,x1x2? ①??????（11分） 29k?49k?4 y1y2?[k(x1?2)][k(x2?2)]

?OA?OB? 20.

20k2?k[x1x2?2(x1?x2)?4]??2 ② ???（12分）

9k?423∴存在直线l:3x?2y?6?0或3x?2y?6?02使得四边形OASB的对角线相等.?（13分）

把①、②代入x1x2?y1y2?0得k??yP0P1Pn+1Pnl0Qn+1Q1Ox20．(1) 解: 由y??e，设直线ln

xxnk?e的斜率为k，则n.∴直线l的方程为y?x?1.

n0

令y?0，得x1??1， ?1分 ∴y1?e1?x111x1(?1,)k?e?， ∴P. ∴. 11eee11?(x?1).令y?0，得x2??2. ?2分 eexn∴直线l1的方程为y?一般地，直线ln的方程为y?e?exn(x?xn)，

由于点Qn?1(xn?1,0)在直线ln上，∴xn?1?xn??1. ?3分 ∴数列?xn?是首项为?1，公差为?1的等差数列. ∴xn??n. ?4分 （2）解：Sn? ?111?nxx?n?n?n?1edx?(x?x)y?e?y?(e?e)?e |nn?1nn??(n?1)?(n?1)222?ne?21?. 2een??6分

11[1?()n]e?2?111?e?2ee?e?2?(1?1)?8分 （3）证明：Tn???1?2???n???12e?ee2e2e(e?1)e?en1?en?1xTn?1en?1?1e?1?(n?1)1e ∴，n?1???n?1?1?n?1?1?. 1Tne?ee?exn?nn1?ne1?1 要证明

e?11Tn?1xn?1?，即只要证明en?1?(e?1)n?e.9分 ?，只要证明n?1e?enTnxn 证法1：（数学归纳法）

① 当n?1时，显然(e?1)?0?e?2e?1?e?(e?1)?e成立； ② 假设n?k时，ek?1222 ?(e?1)k?e成立，则当n?k?1时，ek?2?e?ek?1?e[(e?1)k?e]，

2而e[(e?1)k?e]?[(e?1)(k?1)?e]?(e?1)(k?1)?0. ∴e[(e?1)k?e]?(e?1)(k?1)?e. ∴ek?2?(e?1)(k?1)?e.

n?k?1时，也成立.由①②知不等式

Tn?1xn?1*?对一切n?N都成立.?14分 Tnxn01n?1n?1证法2: en?1?[1?(e?1)]n?1?Cn ?1?Cn?1(e?1)???Cn?1(e?1)