2012年上海高考数学（理科）试卷（全Word版，填空、选择完美解析(3)

?18．设an?1，Sn?a1?a2???an. 在S1,S2,?,S100中，正数的个数是 （ D ） sinnn25 （A）25. （B）50. （C）75. （D）100. y [解析] 对于1≤k≤25，ak≥0（唯a25=0)，所以Sk（1≤k≤25）都为正数. 13? 12? ?k? 当26≤k≤49时，令25??，则25?k?，画出k?终边如右， 23? 其终边两两关于x轴对称，即有sink???sin(50?k?)，

11 所以Sk?1sin2?+?+23sin?+1sin23?+24sin24?+0 2124? ? ? 2? ? 49? 48? 26? 27? ? x ? 37? 38? 6

11 +26sin26?+27sin27??+1ksink?

1111=1sin?+1sin2?+?+(24?26)sin24?+(23?27)sin23?+? 12+(501?1)sin(50?k)?，其中k=26,27,?,49，此时0?50?k?k， ?kk所以501?1?0，又0?(50?k)??24???，所以sin(50?k)??0， ?kk从而当k=26,27,?,49时，Sk都是正数，S50=S49+a50=S49+0=S49>0. 对于k从51到100的情况同上可知Sk都是正数. 综上，可选D.

[评注] 本题中数列难于求和，可通过数列中项的正、负匹配来分析Sk的符号，为此，需借助

分类讨论、数形结合、先局部再整体等数学思想。而重中之重，是看清楚角序列的终边的对称性，此为攻题之关键。

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）

P 19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形， PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2， E

AD=22，PA=2.求： D （1）三角形PCD的面积；（6分）

A （2）异面直线BC与AE所成的角的大小.（6分） B [解]（1）因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，所以CD⊥平面C PAD， 从而CD⊥PD. ……3分 因为PD=22?(22)2?23，CD=2，

所以三角形PCD的面积为12?2?23?23. z ……6 （2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系， P 分 则B(2, 0, 0)，C(2, 22,0)，E(1, 2, 1)，

AE?(1,2,1)，BC?(0,22,0). ……8分 E 设AE与BC的夹角为?，则

A D y

cos??AE?BC4|AE||BC|?2?22?2?B 2，?=4. x C 由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是?4 ……12分 [解法二]取PB中点F，连接EF、AF，则 P EF∥BC，从而∠AEF（或其补角）是异面直线 BC与AE所成的角 ……8分

在?AEF中，由EF=2、AF=2、AE=2

F E

知?AEF是等腰直角三角形， A D 所以∠AEF=?4. B 因此异面直线BC与AE所成的角的大小是

?4 C ……12分

20．已知函数f(x)?lg(x?1).

（1）若0?f(1?2x)?f(x)?1，求x的取值范围；（6分）

（2）若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0?x?1时，有g(x)?f(x)，求函数

y?g(x)(x?[1,2])的反函数.（8分）

[解]（1）由??2?2x?0x?1?0，得?1?x?1.

? 由0?lg(2?2x)?lg(x?1)?lg2?2xx?1?1得1?2?2xx?1?10. ……3分 因为x?1?0，所以x?1?2?2x?10x?10，?2?x?133. 由???1?x?1得??21?2?x?133. ……6分 3?x?3 （2）当x?[1,2]时，2-x?[0,1]，因此

7

y?g(x)?g(x?2)?g(2?x)?f(2?x)?lg(3?x). ……10分 由单调性可得y?[0,lg2].

因为x?3?10，所以所求反函数是y?3?10x，x?[0,lg2]. ……14分

21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴 正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海 里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 y P y?12x2；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救 49援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为.

（1）当t?0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时 两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）

（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分） [解]（1）t?0.5时，P的横坐标xP=7t? 由|AP|=

949272yO x ，代入抛物线方程y?1249x2 A 中，得P的纵坐标yP=3. ……2分 ，得救援船速度的大小为949海里/时. ……4分

72 由tan∠OAP=3?12?7307，得∠OAP=arctan30，故救援船速度的方向

7 为北偏东arctan30弧度. ……6分

（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为(7t,12t). 由vt? 因为t2?22(7t)2?(12t2?12)2，整理得v2?144(t2?12)?337.……10分

t1t2?2，当且仅当t=1时等号成立，

2 所以v?144?2?337?25，即v?25.

因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分 22．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1:2x?y?1.

（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成 的三角形的面积；（4分） （2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2?y2?1相切，求证： OP⊥OQ；（6分） （3）设椭圆C2:4x?y?1. 若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON， 求证：O到直线MN的距离是定值.（6分） [解]（1）双曲线C1:x2122222?y2?1，左顶点A(?22,0)，渐近线方程：y??2x.

2(x?22 过点A与渐近线y?2x平行的直线方程为y?)，即y?2x?1.

??y??2x?x?? 解方程组?，得?1??y?2x?1?y?224. ……2分

28 所以所求三角形的面积1为S?1|OA||y|?2 故

|b|2. ……4分

（2）设直线PQ的方程是y?x?b.因直线与已知圆相切，

?1，即b2?2. ……6分

由??y?x?b22x?2bx?b?1?0. ，得22?2x?y?1?x1?x2?2b. 2xx??b?1?12 设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则? 又y1y2?(x1?b)(x2?b)，所以

8

OP?OQ?x1x2?y1y2?2x1x2?b(x1?x2)?b2

?2(?b2?1)?b?2b?b2?b2?2?0，

故OP⊥OQ. ……10分

（3）当直线ON垂直于x轴时， |ON|=1，|OM|=

22，则O到直线MN的距离为

2233.

当直线ON不垂直于x轴时，

设直线ON的方程为y?kx（显然|k|?2??y?kx?x? 由?2，得?22??4x?y?1?y?2同理|OM|?1?k22k2?1），则直线OM的方程为y??1x. k1?k24?k214?k2k24?k22，所以|ON|?.

. ……13分

222223k2?3k2?1 设O到直线MN的距离为d，因为(|OM|?|ON|)d?|OM||ON|， 所以d12?1|OM|21?|ON?|2?3，即d=

33.

综上，O到直线MN的距离是定值. ……16分 23．对于数集X?{?1,x1,x2,?,xn}，其中0?x1?x2???xn，n?2，定义向量集

Y?{a|a?(s,t),s?X,t?X}. 若对于任意a1?Y，存在a2?Y，使得a1?a2?0，则称X 具有性质P. 例如X?{?1,1,2}具有性质P. （1）若x＞2，且{?1,1,2,x}，求x的值；（4分）

（2）若X具有性质P，求证：1?X，且当xn＞1时，x1=1；（6分） （3）若X具有性质P，且x1=1，x2=q（q为常数 …… 此处隐藏：3304字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……