新版高中数学人教A版选修2-3习题：第二章随机变量及其分布 2.3.1(2)

爱爱爱大大的5.有5支竹签,编号分别为1,2,3,4,5,从中任取3支,以X表示取出竹签的最大号码,则E(X)的值为 .

解析:随机变量X取值为3,4,5.

, P(X=3)=

P(X=4)=

, P(X=5)=

,

则随机变量X的分布列为

ξ P 3

4 5 故E(X)=3 +4 +5 =4.5. 答案:4.5

★6.一个随机变量ξ的概率分布列如下表:

x P(ξ=x) 1 ? 2 ! 3 ?

某同学计算ξ的均值,尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相同.据此,该同学给出了正确答案E(ξ)= .

解析:设P(ξ=1)=P(ξ=3)=a,P(ξ=2)=b,则2a+b=1,于是E(ξ)=a+2b+3a=2(2a+b)=2. 答案:2 7.如图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位:t)的频率分布直方图.

二位分为Greg 爱爱爱大大的

(1)求直方图中x的值;

(2)若将频率视为概率,从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样),求月均用水量在3~4 t 的居民数X的分布列和均值.

解:(1)依题意及频率分布直方图知,0.02+0.1+x+0.37+0.39=1,解得x=0.12.

(2)由题意知,X~B(3,0.1). 因此

P(X=0)= 0.93=0.729,P(X=1)= 0.1×0.92=0.243,P(X=2)= 0.12×0.9=0.027,P(X=3)= 0.13

=0.001.

故随机变量X的分布列为

X P 0 0.729 1 0.243 2 0.027 3 0.001 X的均值为E(X)=3×0.1=0.3.

★8.在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中,每个单位的节目集中安排在一起,若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2,…,6).求: (1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率; (2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与均值. 解:只考虑甲、乙两单位的相对位置,故可用组合计算基本事件数.

(1)设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”,则 表示“甲、乙的演出序号均为偶数”,由等可能性事件的概率计算公式得

P(A)=1-P( )=1- =1-

二位分为Greg 爱爱爱大大的(2)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4,且P(ξ=0)=

,P(ξ=4)=

,P(ξ=1)=

,P(ξ=2)=

,P(ξ=3)=

从而知ξ的分布列为

ξ P 0 1 2 3 4 故E(ξ)=0 +1

+2 +3 +4

★9.购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元,若投保人在购买保险的一年度内出险,则可以获得10 000元的赔偿金.假定在一年度内有10 000人购买了这种保险,且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为1-0.99 (1)求一投保人在一年度内出险的概率p;

(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元,为保证盈利的均值不小于0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元).

解:各投保人是否出险相互独立,且出险的概率都是p,记投保的10 000人中出险的人数为ξ,则ξ~B(104,p).

(1)记事件A表示“保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金”,则 发生当且仅当ξ=0, P(A)=1-P( )=1-P(ξ=0)=1-(1-p 又P(A)=1-0.99 ,所以p=0.001.

(2)该险种总收入为10 000a元,支出是赔偿金总额与成本的和. 支出10 000ξ+50 000,

盈利η=10 000a-(10 000ξ+50 000),

盈利的均值为E(η)=10 000a-10 000E(ξ)-50 000. 由ξ~B(104,10-3)知,E(ξ)=104×10-3=10, E(η)=104a-104E(ξ)-5×104=104a-104×10-5×104.

二位分为Greg 爱爱爱大大的∵E(η)≥0,∴104a-104×10-5×104≥0, ∴a-10-5≥0,∴a≥15.

故每位投保人应交纳的最低保费为15元.

二位分为Greg