1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题无答案

1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题

第一试

一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A）、（B）（C）、（D）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． 1．设等式a(x?a)?a(y?a)?x?a?a?y在实数范围内成立，其中a，x，y

3x2?xy?y2是两两不同的实数，则2的值是【 】 2x?xy?y（A）3 ； （B）

15； （C）2； （D）． 332．如图，AB∥EF∥CD，已知AB＝20，CD＝80，BC＝100，那么EF的值是【 】 （A）10； （B）12； （C） 16； （D）18．

AEB2DFC

3．方程x?x?1?0的解是【 】

（A）

1?5?1?51?5?1?51?5； （B）； （C）或； （D）?． 2222211?1n4．已知：x?(1991?1991n)（n是自然数）．那么(x?1?x2)n，的值是【 】

2（Ａ）1991； （Ｂ）?1991； （Ｃ）(?1)1991； （Ｄ）(?1)1991． 5．若1?2?3???99?100?12M，其中Ｍ为自然数，n为使得等式成立的最大的自

n?1?1nn?1然数，则Ｍ【 】

（Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除． 6．若a，c，d是整数，b是正整数，且满足a?b?c，b?c?d，c?d?a，那么

a?b?c?d的最大值是【 】

（Ａ）?1； （Ｂ）?5； （Ｃ）0； （Ｄ）１． 7．如图，正方形OPQR内接于ΔABC．已知ΔAOR、ΔBOP和ΔCRQ的面积分别是S1?1，

S2?3和S3?1，那么，正方形OPQR的边长是【 】

（Ａ）2； （Ｂ）3； （Ｃ）2 ； （Ｄ）3．

?A?60?，8．在锐角ΔABC中，AC?1，AB?c，ΔABC的外接圆半径R≤1，则【 】

（Ａ）

11＜c＜2 ； （Ｂ）0＜c ≤； （C）c＞2； （D）c＝2． 22二、填空题

9．Ｅ是平行四边形ABCD中BC边的中点，AE交对角线BD于G，如果ΔBEG的面积是１，则平行四边形ABCD的面积是 ．

DEAGBC

210．已知关于x的一元二次方程ax?bx?c?0没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，

2b?3c? ． a(x?1)m(x?1)p?1?11．设m，n，p，q为非负数，且对一切x＞０，恒成立，则 nqxx(m2?2n?p)2q? ．

12．四边形ABCD中，∠ ABC?135，∠BCD?120，AB?CD＝6，则AD＝ ．

??6，BC?5?3，

CBA

D

第二试

一、若x＋y， x－y， xy，

x四个数中的三个有相同的数值，求出所有具有这样性y质的数对（x , y）．

二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．求证：BF＝AF＋CF

BADCEF

三、将正方形ABCD分割为 n个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．

2