4勾股定理 习题集(2014-2015)(2)

题型六：与三角形有关的面积问题

Rt△ABC中，?C?90?，【例21】 如图，若AB?15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为______．

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【例22】 在Rt△ABC中，?C?90?，?A、?B、?C的对边分别为a、b、c．

(1)若a:b＝3:4，c?75cm，求a、b； :，b＝24，求△ABC的面积； (2)若a:c＝1517(3)若c?a＝4，b?16，求a、c； (4)若?A?30?，c?24，求c边上的高hc； (5)若a、b、c为连续整数，求a?b?c．

△ABC中，BC?a，AC?b，AB?c．若?C?90?，如图1，根据勾股定理，则a2?b2?c2．若【例23】

△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想a2?b2与c2的关系，并证明

你的结论．

AcAcAcbCbbBCa图1BCa图2a图3B

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【例24】 如图1，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，则

不难证明S1?S2?S3．

⑴ 如图2，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表 示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？（不必证明）

⑵ 如图3，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3

表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明．

CS3AS1S2BAS3CS2AS1BCS3S1S2B图1图2图3

题型七：与勾股定理有关的网格问题

【例25】 现场学习题

问题背景：

在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为2、13、17，求这个三角形的面积． 小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．

AB图1C

图2图3（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上．__________ 思维拓展：

（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为2a、25a、26a（a?0），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积是：__________． 探索创新：

（3）若△ABC三边的长分别为4m2?n2、16m2?n2、2m2?n2（m?0，n?0，m?n），请运用构图法在图3指定区域内画出示意图，并求出△ABC的面积为：__________．

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题型八：勾股定理与找规律

【例26】 已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰

Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，……，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是_______．

EDCBAGF

【例27】 如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角

线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去．

a3，a4，.....an，（1）记正方形ABCD的边长为a1?1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2，a3，a4的值； 请求出a2，（2）根据以上规律写出an的表达式．

题型九：勾股定理综合题

【例28】 设a,b,c,d都是正数。

求证：a2?c2?d2?2cd?b2?c2?a2?b2?d2?2ab.

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O【例29】 如图，A、B是O上的两个定点，P是O上的动点（P不与A、B重合）、我们称?APB是⊙

上关于点A、B的滑动角．

（1）已知?APB是O上关于点A、B的滑动角， ①若AB是O的直径，则?APB?__________°； ②若O的半径是1，AB?2，求?APB的度数；

（2）已知O2是O1外一点，以O2为圆心作一个圆与O1相交于A、B两点，?APB是O1上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交O2于M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索?APB与?MAN、?ANB之间的数量关系．

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