万有引力定律应用的12种典型案例

万有引力定律应用的12种典型案例

万有引力定律不仅是高考的一个大重点，而且是自然科学的一个重大课题，也是同学们最感兴趣的科学论题之一。 特别是我国“神州五号”载人飞船的发射成功，更激发了同学们研究卫星，探索宇宙的信心。

下面我们就来探讨一下万有引力定律在天文学上应用的12个典型案例：

【案例1】天体的质量与密度的估算

下列哪一组数据能够估算出地球的质量 A.月球绕地球运行的周期与月地之间的距离 B.地球表面的重力加速度与地球的半径 C.绕地球运行卫星的周期与线速度 D.地球表面卫星的周期与地球的密度

解析：人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动。月球也是地球的一颗卫星。 设地球的质量为M，卫星的质量为m，卫星的运行周期为T，轨道半径为r

根据万有引力定律： GMmr2?m4?T22r??①得：

M?4?rGT223??②可见A正确

而v?2?rT??由②③知C正确

对地球表面的卫星，轨道半径等于地球的半径，r=R??④ 由于??M4?R3?T23??⑤结合②④⑤得：

?3?G 可见D错误

地球表面的物体，其重力近似等于地球对物体的引力 由mg?GMmR2得：M?RgG2可见B正确

【探讨评价】根据牛顿定律，只能求出中心天体的质量，不能解决环绕天体的质量；能够根据已知条件和已知的常量，运用物理规律估算物理量，这也是高考对学生的要求。总之，牛顿万有引力定律是解决天体运动问题的关键。

【案例2】普通卫星的运动问题

我国自行研制发射的“风云一号”“风云二号”气象卫星的运行轨道是不同的。“风云一号”是极地圆形轨道卫星，其轨道平面与赤道平面垂直，周期为12 h，“风云二号”是同步轨道卫星，其运行轨道就是

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赤道平面,周期为24 h。问：哪颗卫星的向心加速度大？哪颗卫星的线速度大？若某天上午8点，“风云一号”正好通过赤道附近太平洋上一个小岛的上空，那么“风云一号”下次通过该岛上空的时间应该是多少？

解析：本题主要考察普通卫星的运动特点及其规律

由开普勒第三定律T2∝r3知：“风云二号”卫星的轨道半径较大 又根据牛顿万有引力定律Ga?GMr2Mmr2?ma?mv2r得：

，可见“风云一号”卫星的向心加速度大，

v?GMr，可见“风云一号”卫星的线速度大，

“风云一号”下次通过该岛上空，地球正好自转一周，故需要时间24h，即第二天上午8点钟。 【探讨评价】由万有引力定律得：a?GMr2，v?GMr，??GMr3，T?2?r3GM得：

⑴所有运动学量量都是r的函数。我们应该建立函数的思想。

⑵运动学量v、a、ω、f随着r的增加而减小，只有T随着r的增加而增加。 ⑶任何卫星的环绕速度不大于7.9km/s，运动周期不小于85min。 ⑷学会总结规律，灵活运用规律解题也是一种重要的学习方法。

【案例3】同步卫星的运动

下列关于地球同步卫星的说法中正确的是：

A、为避免通讯卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同的轨道上 B、通讯卫星定点在地球赤道上空某处，所有通讯卫星的周期都是24h

C、不同国家发射通讯卫星的地点不同，这些卫星的轨道不一定在同一平面上 D、不同通讯卫星运行的线速度大小是相同的，加速度的大小也是相同的。 解析：本题考察地球同步卫星的特点及其规律。

同步卫星运动的周期与地球自转周期相同，T=24h，角速度ω一定 根据万有引力定律GmMr2?m4?T22r得知通讯卫星的运行轨道是一定的，离开地面的高度也是一定

的。地球对卫星的引力提供了卫星做圆周运动的向心力，因此同步卫星只能以地心为为圆心做圆周运动，它只能与赤道同平面且定点在赤道平面的正上方。故B正确，C错误。 不同通讯卫星因轨道半径相同，速度大小相等，故无相对运动，不会相撞，A错误。 由GMmr2?ma?mv2r知：通讯卫星运行的线速度、向心加速度大小一定。

故正确答案是：B、D

【探讨评价】通讯卫星即地球同步通讯卫星，它的特点是：与地球自转周期相同，角速度相同；与地球赤道同平面，在赤道的正上方，高度一定，绕地球做匀速圆周运动；线速度、向心加速度大小相同。 三颗同步卫星就能覆盖地球。

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【案例4】“双星”问题

天文学中把两颗距离比较近，又与其它星体距离比较远的星体叫做双星，双星的间距是一定的。设双星的质量分别是m1、m2，星球球心间距为L。问：

⑴两星体各做什么运动？

⑵两星的轨道半径各多大？⑶两星的速度各多大？ 解析：本题主要考察双星的特点及其运动规律

⑴由于双星之间只存在相互作用的引力，质量不变，距离一定，则引力大小一定，根据牛顿第二定律知道，每个星体的加速度大小不变。因此它们只能做匀速圆周运动。 ⑵由牛顿定律Gr1r2m2m1?r1 m1 O r2 m2

m1m2L2?m1?r1?m2?r2……①

22得：?1 又r1?r2?L……②

Lr2 解得：rm1?m2m2?m1?m2m1L……③ G ⑶由①得：v1?r1??Gm2r1L2?m2L(m1?m2)GL(m1?m2)

v2?r2??Gm1r2L2?m1

【探讨评价】双星的特点就是距离一定，它们间只存在相互作用的引力，引力又一定，从而加速度大小就是一个定值，这样的运动只能是匀速圆周运动。这个结论很重要。同时利用对称性，巧妙解题，找到结论的规律，搞清结论的和谐美与对称美对我们以后的学习也很有帮助。

【案例5】“两星”问题

如图是在同一平面不同轨道上运行的两颗人造地球卫星。设它们运行的周期分别是T1、T2，(T1＜T2)，且某时刻两卫星相距最近。问：

⑴两卫星再次相距最近的时间是多少？ ⑵两卫星相距最远的时间是多少？

地球 解析：本题考察同一平面不同轨道上运行的两颗人造地球卫星的位置特点及其卫星的运动规律 ⑴依题意，T1＜T2，周期大的轨道半径大，故外层轨道运动的卫星运行一周的时间长。设经过△t两星再次相距最近

则它们运行的角度之差???2?……①

2?T12?T2 即:t?t?2? ……② 解得：t?T1T2T2?T1

⑵两卫星相距最远时，它们运行的角度之差????2k?1??……③

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2?T12?T2 即:t?t??2k?1??……④ k=0.1.2??

解得：t?2k?12?T1T2T2?T1……⑤ k=0.1.2??

【探讨评价】曲线运动求解时间，常用公式φ=ωt；通过作图，搞清它们转动的角度关系，以及终边相同的角，是解决这类问题的关键。

【案例6】同步卫星的发射问题

发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆形轨道1运行，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆形轨道3运行。设轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，

⑴比较卫星经过轨道1、2上的Q点的加速度的大小；以及卫星经过轨道2、3上的P点的加速度的大小

⑵设卫星在轨道1、3上的速度大小为v1、v3 ，在椭圆轨道上Q、P点的速度大小分别是v2、v2，比较四个速度的大小

上运动的特点。

⑴根据牛顿第二定律，卫星的加速度是由于地球吸引卫星的引力产生的。即：G卫星在轨道2、3上经过P点的加速度大小相等；

卫星在轨道1、2上经过Q点的加速度大小也相等；但P点的加速度小于Q点的加速度。 ⑵1、3轨道为卫星运行的圆轨道，卫星只受地球引力做匀速圆周运动 由GMmr2P /v2 v地1 2 3 /

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