2011北京房山初三数学一模试题及答案(4)

∵抛物线y?mx2?3mx?3（m＞0）过点B，

3 4329∴抛物线的解析式为y?x?x?3 ------- 2分

443（2）如图1，∵抛物线对称轴为x??，B（1,0）

2∴m+3m-3=0 ， ∴m=∴A（-4,0） 联结OD，

329x?x?3上 44329∴设点D（x ，x?x?3），则

44∵点D在抛物线y?S?ACD?S?AOD?S?DOC?S?AOC

=

1?3291?1?4??x?x?3???3??x???4?3 2?442?2

32x?6x ---------------------------------------------------------3分 232∴S=??x?2??6 ------------------------------------------------------- 4分

2=?∴当x=-2时，△ACD的面积S有最大值为6. 此时，点D的坐标为（-2，?9）． -------------------------------------------------------- 5分 2

（3）①如图2，当以AC为边，CP也是平行四边形的边时， CP∥AE，点P与点C关于抛物线的对称轴对称，此时P（-3，-3）.

②如图3，当以AC为对角线，CP为边时，此时P点的坐标是（-3，-3） --------- 6分 ③如图4、图5，当以AC为边，CP是平行四边形的对角线时，点P、C到x轴的距离相等，则 或（

（图2）

（图3）

329?3?41?3?41x?x?3=3，解得x?，此时P（，3）（如图4） 4422?3?41，3）（如图5） -------------------------------------------------------------- 7分 2

（图4）

（图5）

综上所述，存在三个点符合题意，分别是P，P2（1（-3，-3）

?3?41，3）， 2P3（

?3?41，3）． -------------------------------------------------------- 8分 2A25．猜想：AP=BP+PC ------------------------------1分 （1）证明：延长BP至E，使PE=PC，联结CE ∵∠BPC=120°

∴∠CPE=60°，又PE=PC

B ∴△CPE为等边三角形

∴CP=PE=CE，∠PCE=60° ∵△ABC为等边三角形

C ∴AC=BC，∠BCA=60° P ∴∠ACB=∠PCE，

∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP

E 即：∠ACP=∠BCE

∴△ACP≌△BCE

∴AP=BE --------------------------------- ------------------------------------------2分 ∵BE=BP+PE

∴AP=BP+PC ------------------------------------ ---------------------------------------- 3分

（2）方法一：

在AD外侧作等边△AB′D ---------------------------------------------------------- 4分 则点P在三角形ADB′外 B’ ∵∠APD=120°∴由（1）得PB′=AP+PD 在△PB′C中，有PB′+PC＞CB′， A

PBCD

∴PA+PD+PC＞CB′ ------------------------------------ 5分 ∵△AB′D、△ABC是等边三角形 ∴AC=AB，AB′=AD，

∠BAC=∠DA B′=60°

∴∠BAC+∠CAD=∠DAB′+∠CAD 即：∠BAD=∠CAB′ ∴△AB′C≌△ADB

∴C B′=BD ------------------------------------------------------------------------ 6分 ∴PA+PD+PC＞BD ------------------------------------------------------------------------- 7分

方法二：延长DP到M使PM=PA，联结AM、BM A ∵∠APD=120°，

M∴△APM是等边三角形， -----------------------------4分

∴AM=AP，∠PAM=60° P ∴DM=PD+PA ------------------------------5分

D ∵△ABC是等边三角形 BC∴AB=AC，∠BAC=60° ∴△AMB≌△APC

∴BM=PC ---------------------------------------------------------------------------------6分 在△BDM中，有DM + BM＞BD，

∴PA+PD+PC＞BD ----------------------------------------------------------------------------7分