第1讲集合、简易逻辑（答案版）

第1讲 集合与

本讲分两小节，分别为集合、简易逻辑，建议用时2.5课时．由于在二轮复习和三轮复习中都不会单独对集合进行系统复习，因此本讲侧重于集合部分，难度也略大．而对于简易逻辑，由于高考中对这部分知识的考查都是以其他数学知识为载体的，因此在本讲中不作为重点，只需要对基本概念与方 简易逻辑

法进行梳理即可．

第一小节为集合，共4道例题．其中 例1主要讲解集合的各个知识点； 例2是对集合的概念部分的加深与巩固；

例3是对集合关于运算封闭性的题型，主要是对集合的性质特征描述法的加深与巩固；例4是对集合与集合关系部分的加深与巩固． 第二小节为简易逻辑，共2道例题．其中 例5主要讲解命题的四种形式的转化； 例6主要讲解充分性与必要性的判断．

1.1集合

知识结构图

知识梳理

第1讲·教师版

1

一、集合的概念 1、元素与集合

我们所感知的各种事物或符号，都可以称为对象．如果一些对象（可能是一个也可能是多个，亦有可能是无数个或零个）满足确定性、互异性及无序性，那么将这些对象组成的整体称为集合，每个对象都称为集合的元素．

我们一般用大写字母（如A）来表示集合，用小写字母表示集合中的元素（如a）．对象x是集合P中的元素记为x?P（“?”读作“属于”），对象y不是集合P中的元素记为y?P（“?”读作“不属于”）．不含有任何元素的集合称为空集，记作?．

在中学数学阶段研究的集合以数集为主，常用数集有对应的符号表示：N（自然数集）、N?（正整数集）、Z（整数集）、Q（有理数集）、R（实数集）、C（复数集）．另外，我们经常使用区间表示法来表示实数集的子集．

【备注】注意角标“?”表示“非零”，如R?????,0??0,???；

角标“2”表示“笛卡尔积”，如R2???x,y?|x?R,y?R?．

2、集合的分类

如果集合中的元素个数是有限的，则称之为有限集合；对应的，如果集合中的元素个数是无限的，则称之为无限集合．

二、集合的表示法 1、列举法

形如?a,b,c,d?的表示法．

在使用列举法表示集合的时候需要注意集合元素的无序性及互异性． 【备注】已知集合M?x,xy,2、特征性质描述法

形如?x|p?x??的表示法，其中x称为代表元素，p?x?为集合的特征性质． 在使用特征性质描述法时要特别注意代表元素的形式．

【备注】注意集合x|y?x?1,x,y?R??1,???；y|y?x?1,x,y?R??0,???；

?x?y，N??0,x,y?，若M?N，则x??1；y??1．

???????x,y?|y?x?1,x,y?R表示函数y?x?1图象上的所有点的坐标形成的有序实数对．

?

三、集合与集合的关系 1、包含关系

① 注意区分符号“?”和“?”的含义； ② 空集?是任何集合的子集；

③ A?B的等价形式：AB?A,AB?B,痧UB?UA,A?痧B???,?UUA?B?R；

④ 注意子集、真子集、非空子集、非空真子集的概念及计数．

元集合（我们把空集看作0元集合）的子集数为2n，真子集和非空子集数均为2n?1， n（n?N）

非空真子集数为2n?2．

【备注】集合本身作为明确的数学对象，也可以作为元素出现．

如集合??,?11中，集合?、?1?都是该集合的元素，因此????,?1?,1?同时?,? 2

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????,?1?,1?．

2、集合与集合的运算

① 交、并、补运算都是两个集合间的运算；

② 当出现多次运算时注意用括号保证运算顺序．

【备注】事实上，我们还经常用到差集A\\B??x|x?A,x?B?，与对称差集A?B??AB?\\?AB?． 3、数轴法与韦恩图示法

用数轴法可以清晰的描述集合与集合的包含关系，也可以快捷的进行集合与集合的运算． 【备注】一般我们将数轴法与韦恩图示法看作研究集合与集合关系的工具，而不作为集合的表示法．

真题再现

（2012年北京）已知集合A??x?R|3x?2?0?，B??x?R|?x?1??x?3??0?，则A（ ）

2???2A．???,?1? B．??1,?? C．??,3???3?3? D．?3,??? ?B?【解析】 D

小题热身

1、

1??已知U??0,???，P??0,?，则eUP?（ ）

2??1??1??A．?,??? B．?0,? C．?0,??? D．???,0?2??2???1??2,??? ?? 2、 （2011年辽宁）已知M、N为集合I的非空真子集，且M、N不相等，若N则MN?（ ）

eIM??，

A．M B．N C．I D．?

3、 （2009年广东）已知全集U?R，集合M??x|?2≤x?1≤2?和

N??x|x?2k?1,k?1,2,?的关系的韦恩图如图所示，则区域

I所示的集合的元素共有

（ ）

UNIM

A．2个 B．3个 C．1个 D．无穷多个

4、

?Z?，N??u|u?20p?16q?3,p,q?Z?的关系为集合M??u|u?12m?8n?1,m,n（ ）

A．M?N且M?N B．N?M且M?N C．M?N D．以上都不对

5、

已知M??y|y?x?1?，N???x,y?|x2?y2?1?，则集合MN的子集个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．4

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3

6、

已知集合A?x|x2?3x?10≤0，集合B??x|p?1≤x≤2p?1?，若AB?B，则实数

??p的取值范围是（ ）

A．???,3? B．?2,3? C．???,3? D．?2,3? 1 A

2 A 3 B 4 C 5 B 6 A 经典精讲

考点：集合的概念与基本运算

???x?y?1?0??【例1】 ⑴（2010年丰台一模文）若集合P??0,1,2?，Q???x,y?|?则Q,x,y?P?，

x?y?2?0?????中的元素的个数是（ ）

A．3 B．5 C．7 D．9 ⑵（2009年山东）集合A??0,2,a?，B?1,a2．若A??B??0,1,2,4,16?，则a的值

是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．4 ⑶

（2010年天津理）设集合A??x|x?a?1,x?R?，B??x|x?b?2,x?R?，若A?B，

则实数a,b必满足（ ）

A．a?b≤3 B．a?b≥3 C．a?b≤3 D．a?b≥3 ⑷

对任意两个集合M、N，定义M?N??x|x?M,且x?N?，

M?N??M?N??N?M?，设M?y|y?x2,x?R，N??y|y?3sinx,x?R?，则

??M?N? ．

⑸S（2011年安徽）设集合A??1,2,3,4,5,6?，B??4,5,6,7,8?，则满足S?A且B??的集合S的个数是（ ）

A．57 B．56 C．49 D．48

【解析】 ⑴B．⑵D．⑶D．⑷??3,0?

考点：新定义集合

【例2】 ⑴设x,y,z都是非零实数，试用列举法将

合表示出来． ⑵

定义集合运算：A设集合A??0,1?，B??2,3?，B??z|z?xy?x?y?,x?A,y?B?．

则集合AB的所有元素之和为（ ）

A．0 B．6 C．12 D．18 ⑶

（2012年西城二模文）已知集合A??a1,a2,,a20?，ai?0（i?1,2,,20）．集合

?3,???．⑸B．

xyzxyxyz????的所有可能值构成的集xyzxyxyzB???a,b?|a,b,a?b?A?，则集合B中的元素个数的最大值为（ ） A．210 B．200 C．190 D．180

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