2013高考数学（理）一轮复习教案：第七篇 不等式第3讲 二元一次

第3讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

【2013年高考会这样考】

1．考查二元一次不等式组表示的区域面积和目标函数最值(或取值范围)． 2．考查约束条件、目标函数中的参变量的取值范围． 【复习指导】

1．掌握确定平面区域的方法(线定界、点定域)．

2．理解目标函数的几何意义，掌握解决线性规划问题的方法(图解法)，注意线性规划问题与其他知识的综合．

基础梳理

1．二元一次不等式表示的平面区域

(1)一般地，直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了三个部分： ①直线l上的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＝0；

②直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＞0； ③直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＜0.

所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，从ax0＋by0＋c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域．

(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域． 2．线性规划相关概念

名 称 目标函数 约束条件 意 义 欲求最大值或最小值的函数 目标函数中的变量所要满足的不等式组 线性约束条件 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数是关于变量的一次函数 满足线性约束条件的解 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的点的坐标 在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题

一种方法

确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．

(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．

(2)特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点． 一个步骤

利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域；

(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形； (3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 两个防范

(1)画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化． (2)求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截azz式：y＝－bx＋b，通过求直线的截距b的最值间接求出z的最值．要注意：当b＞0zz时，截距b取最大值时，z也取最大值；截距b取最小值时，z也取最小值；当b＜0

zz时，截距b取最大值时，z取最小值；截距b取最小值时，z取最大值．

双基自测

1．(人教A版教材习题改编)如图所示的平面区域(阴影部分)，用不等式表示为

( )．

A．2x－y－3＜0 B．2x－y－3＞0 C．2x－y－3≤0 D．2x－y－3≥0

解析 将原点(0,0)代入2x－y－3得2×0－0－3＝－3＜0，所以不等式为2x－y－3＞0. 答案 B

2．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的点是( )． A．(0,0) B．(－1,1) C．(－1,3) D．(2，－3)

解析 逐一代入得点(－1,3)不在x＋y－1≤0表示的平面区域内． 答案 C

3．如图所示，阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示的是( )．

?x＋y－1≥0A.? x－2y＋2≥0?

?x＋y－1≥0C.? ?x－2y＋2≤0

?x＋y－1≤0B.? x－2y＋2≤0?

?x＋y－1≤0D.? ?x－2y＋2≥0

解析 两条直线方程为：x＋y－1＝0，x－2y＋2＝0. 将原点(0,0)代入x＋y－1得－1＜0，

代入x－2y＋2得2＞0，

即点(0,0)在x－2y＋2≥0的内部， 在x＋y－1≤0的外部，

?x＋y－1≥0，

故所求二元一次不等式组为?

x－2y＋2≥0.?答案 A

4．(2011·安徽)设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则x＋2y的最大值和最小值分别为

( )．

A．1，－1 C．1，－2

B．2，－2 D．2，－1

解析 法一 特殊值验证：当y＝1，x＝0时，x＋2y＝2，排除A，C；当y＝－1，x＝0时，x＋2y＝－2，排除D，故选B.

法二 直接求解：如图，先画出不等式|x|＋|y|≤1表示的平面区域，易知当直线x＋2y＝u经过点B，D时分别对应u的最大值和最小值，所以umax＝2，umin＝－2. 答案 B

5．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，请工人的约束条件是________．

?50x＋40y≤2 000

答案 ?x∈N

?y∈N

＋＋

考向一 二元一次不等式(组)表示的平面区域

?y≥0，

【例1】?(2011·湖北)直线2x＋y－10＝0与不等式组?x－y≥－2，

?4x＋3y≤20

区域的公共点有( )．

A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个

x≥0

表示的平面

[审题视点] 准确画出不等式组所表示的平面区域，比较直线2x＋y－10＝0与4x＋3y－20＝0的斜率即可判断．

解析 由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)． 直线2x＋y－10＝0恰过点A(5,0)，

4

且斜率k＝－2＜kAB＝－3，即直线2x＋y－10＝0与平面区域仅有一个公共点A(5,0)．

答案 B

不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点集的交集，

因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．

?0≤x≤2，

【训练1】 已知关于x，y的不等式组?x＋y－2≥0，

?kx－y＋2≥0

为4，则k的值为( )． A．1 C．1或－3

所表示的平面区域的面积

B．－3 D．0