力学第二版习题答案第十章

第十章波动基本知识小结

⒈平面简谐波方程 y?Aco?s(t?xV)?Acos?(t?kx)； ?T?2?,k??2?,v?1/T,V??v。

⒉弹性波的波速仅取决媒质性质：弹性体中横波的波速

V?N/?，弹性体中纵波的波速V?Y/?，流体中纵波波速V?k/?，绳波波速V?T/?。

⒊波的平均能量密度 ??12??2A2，波的平均能流密度I?1??2A22V。

⒋波由波密射向波疏媒质，在边界处，反射波与入射波相位相

同；波由波疏射向波密媒质，在边界处，反射波比入射波相位落后π，相当损失半个波长；例如：在自由端无半波损失，在固定端有半波损失。

⒌振动方向相同、频率相同、位相差恒定的二列波叫相干波，相干波叠加叫波的干涉。

⒍振幅相同、传播方向相反的两列相干波叠加产生驻波现象；

驻波方程 y?2Acos2??xcos?t；波节两边质元振动相位相反，两个波节之间质元振动相位相同；相邻波节或相邻波腹间距离为λ/2，

相邻波腹波节间距离为λ/4。

⒎多普勒公式：v'?V?V0V?VSv，在运用此公式时，以波速V为正方

向，从而确定V0、VS的正负。

10.2.1 频率在20至20000Hz的弹性波能使人耳产生听到声音的

感觉。0oC时，空气中的声速为331.5m/s,求这两种频率声波的波长。

解：?V?v?,???V/v,?1?V/v1?331.520?16.58m

?2?V/v2?331.5/20?16.58?10?3m?

10.2.2 一平面简谐声波的振幅A=0.001m，频率为1483Hz，在20oC的水中传播，写出其波方程。

解：查表可知，波在20oC的水中传播，其波速V=1483m/s.设o-x轴沿波传播方向，x表示各体元平衡位置坐标，y表示各体元相对平衡位置的位移，并取原点处体元的初相为零，则：

y?Acos2?v(t?xV)?0.001cos(2966?t?2?x)

10.2.3 已知平面简谐波的振幅A=0.1cm,波长1m,周期为10-2s,写出波方程（最简形式）.又距波源9m和10m两波面上的相位差是多少？

解：取坐标原点处体元初相为零，o-x轴沿波传播方向，则波方程的最简形式为

y?Acos?(t?xtx?3V)?Acos2?(T??)?10cos2?(100t?x) ???2?(100t?9)?2?(100t?10)?2?

10.2.4 写出振幅为A,频率v=f,波速为V=C,沿o-x轴正向传播的平面简谐波方程.波源在原点o,且当t=0时，波源的振动状态是位移为零，速度沿o-x轴正方向。

解：设波源振动方程为y?Acos(?t??).

∵t=0时，y?Acos??0,u?dydt???Asin??0,?????2 ∴波方程y?Acos[2?v(t?xV)??2]?Acos[2?f(t?xC)??2]

10.2.5 已知波源在原点（x=0）的平面简谐波方程为

y?Acos(bt?cx),A,b,c均为常量.试求：⑴振幅、频率、波速和波

长；⑵写出在传播方向上距波源l处一点的振动方程式，此质点振动

的初相位如何？

解：⑴将y?Acos(bt?cx)与标准形式y?Acos(?t?kx)比较，ω=b,k=c,∴振幅为A,频率v=ω/2π=b/2π,波速V=ω/k=b/c,波长λ=V/v=2π/c.

⑵令x=l, 则y?Acos(bt?cl)，此质点振动初相为 – cl.

10.2.6 一平面简谐波逆x轴传播，波方程为

y?Acos2?v(t?xV?3),试利用改变计时起点的方法将波方程化

为最简形式。

解：令t’=t+3,则y?Acos2?v(t'?xV)，即将计时起点提前3s,即可把方程化为如上的最简形式。

10.2.7 平面简谐波方程y?5cos2?(t?x4)，试用两种方法画出t?35s时的波形图（SI）。

解：由波方程可知：A=5, v=4, v=1, λ=v/v=4

t?35cos2?(35s时，y?5?xcos?124)?52(x?5)

方法一：令x'?x?125，先画出y?5cos?2x'的波形图，然后将y轴右移125即可。 方法二：找出x、y的对应点，根据余弦函数规律描出。

y' y

x(m)

10.2.8 对于平面简谐波S?rcos2?(tT??x)中，r=0.01m,T=12s,λ=0.30m,画出x=0.20m处体元的位移-时间曲线。画出t=3s,6s时的

波形图。

解：波方程S?rcos2?(t??x)?0.01cos2?(txT12?0.3) ⑴令x=0.20，S?0.01cos2?(t?0.2120.3)?0.01cos?6(t?8)；令

t'=t-8,根据T=12s及余弦曲线的规律，先画出S'?0.01cos?6t'的S’-t’曲线，再把S'轴向左移动8秒，即得S-t曲线。

S (m) S’

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 t (s) - 0.01

⑵令t=3, S?0.01cos2?(3?x120.)?0.01cos2?(x330.3?12)=

0.01cos20(x?3?333?40).令x'?x40，根据??0.3?4?40m及余弦

曲线的规律，先画出S'?0.01cos203?x'的S’-x’曲线，再把S’轴向左移动3/40m，即得S-x曲线。 S(m) S’ 0.01 x(3/40m) -1 0 1 2 3 4 5 6 7 t=6s时的波形图，可把t=3s时的波形图左移6?3?0.3?31240m，

即1个单位，就是t=6s时的波形图（虚线所示）。

10.2.9 两图分别表示向右和向左传的平面简谐波在某一瞬时的波形图，说明此时x1,x2,x3以及ξ1,ξ2,ξ3各质元的位移和速度为正还是为负？它们的相位如何？（对于x2和ξ2只要求说明其相位在第几像限）

y xv y v 2

x1 x3 x ξ2 ξ1 ξ3 x

解：根据y?Acos?(t?xV),u???Asin?(t?xV)及波形图随时间t的移动方向，可做出如下判断：

x1 x2 x3 ξ1 ξ2 ξ3 位移 正最大 负 0 正最大 负 0 速度 0 负 负最大 0 正 正最大 相位 0或2π Ⅱ像限 π/2 0或2π Ⅲ像限 -π/2

10.2.10 图（a）、（b）分别表示t=0和t=2s时的某一平面简谐波的波形图。试写出平面简谐波方程。

解：由波形图知：A=2m,λ=2m.由图（a），原点处质元t=0时， y=A,可判断其初相为零.比较 y/m v （a）、（b）两图,（b）图可看 2 作（a）图向右移动0.5m得到。 0 1 2 x/m ∴VΔt=0.5,V=0.5/2=0.25m/s. -2 ω=2πV/λ=2π×0.25/2=0.25π 图（a） ?y?2cos?(t?xV)?2cos0.25?(t?x0.25) 0 1 2 x/m ?2cos?(0.25t?x) 图（b）

10.3.1 有一圆形横截面的铜丝，受张力1.0N,横截面积为1.0mm2.求其中传播纵波和横波时的波速各为多少？铜的密度为8.9×103kg/m3,铜的杨氏模量为12×109N/m2.

解：纵波波速 V?Y12?109??8.3?103?1.16?103m/s.

铜丝的线密度?'??s?8.9?103?1.0?10?6?8.9?10?3kg/m，铜

丝中传播的横波是绳波，横波波速V?T?1'?8.9?10?3?10.6m/s

10.3.2 已知某种温度下水中声速为1.45×103m/s,求水的体变模量。

解：∵水中声波速度V??k?水的体变模量

k??V2?1.0?103?(1.45?103)2?2.10?109Pa

10.4.1 在直径为14cm管中传播的平面简谐波，平均能流密度为 9erg/s.cm2，v=300Hz，V=300m/s.⑴求最大能量密度和平均能量密度，⑵求相邻同相位波面间的总能量。

解：平均能流密度 I?122??A2V?9?10?3J/s.m2

⑴ ∵能量密度????2A2sin2?(t?xV)，∴ 最大能量密度 ?2?3max???2A?2IV?2?9?10300?6?10?5J/m3. 平均能量密度

??122110?52??A?2?max?3?J/m3 ⑵管的横截面积 s??R2?3.14?(14?10?2)2?1.54?10?2m22，∵相邻同相位波面间的距离为??Vv?300300?1m，∴其间总能量为

E???s?3?10?5?1?1.54?10?2?4.6?10?7J

10.4.3 面向街道的窗口面积约40m2,街道 …… 此处隐藏：4026字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……