四川省成都市第七中学2019届高三二诊模拟考试数学（文）附答案解(4)

由①-②得，

∴∵∵∴

. ，∴

恒成立，等价于

，

对任意恒成立.

【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的证明问题，等差数列的定义和等差数列的通项公式，应用错位相减法对数列求和，关于恒成立问题求参数的取值范围，保持思路清晰是正确解题的关键.

19.某面包店推出一款新面包，每个面包的成本价为元，售价为个，至多

元，该款面包当天只出一炉（一炉至少

个），当天如果没有售完，剩余的面包以每个元的价格处理掉，为了确定这一炉面包的个数，

天的日需求量（单位：个），整理得下表：

以便利润最大化，该店记录了这款新面包最近日需求量 频数

（1）根据表中数据可知，频数与日需求量（单位：个）线性相关，求关于的线性回归方程； （2）若该店这款新面包每日出炉数设定为（i）求日需求量为（ii）求这

个时的当日利润；

个

天的日均利润.

相关公式：，

【答案】（1）【解析】 【分析】

；（2）（i）15元；（ii）101.6元.

（1）计算x,y的平均数，计算线性回归方程的参数，即可。（2）（i）当日需求为15个时，结合信息表，计

算利润，即可。（ii）分别计算每种日需求下的利润，计算期望，即可。 【详解】（1）

，

，

，故关于的线性回归方程为

（2）（i）若日需求量为（ii）若日需求量为若日需求量为若日需求量为

个，则当日利润

.

元 元 元

元

元

，

个，则当日利润

个，则当日利润个或

个，则当日利润

则这30日的日均利润

【点睛】考查了线性回归方程的计算，考查了数学期望的计算，关键结合x,y的平均数，得到线性回归方程，即可，难度中等。 20.已知函数（1）求函数（2）若当（参考数值【答案】（1）【解析】 【分析】

（1）求导，结合导函数，判定原函数的单调性，计算极值，即可。（2）构造函数取不同范围，判定原函数单调性，构造函数【详解】解（1）

，，

，，

，

单调递减， 单调递增， ，

无极大值. （2）记当函数当

时，时，因为

，

，函数与且

，则单调递增，的图像无交点；

时，

，

，

的极值；

时，函数，

，

，与

（为常数，且）.

的图像有且只有一个交点，试确定自然数的值，使得，

）

无极大值；（2）6.

，结合导函数，针对a

，结合导函数，判定单调性，结合零点判定定理，即可.

， ，

无零点，即函数

时，，

所以，，函数与的图片有且只有一个交点，得，

化简得记又所以

，即

， ，，

.

，

在

上单调递减，

，

【点睛】考查了利用导函数计算原函数的极值，考查了零点判定定理，考查了构造函数的思想，难度偏难. 21.已知椭圆心率为

。

（

）的左焦点为，点为椭圆上任意一点，且

的最小值为

，离

（I）求椭圆的方程；

（II）若动直线与椭圆交于不同两点、（、都在轴上方），且（i）当为椭圆与轴正半轴的交点时，求直线的方程； （ii）对于动直线，是否存在一个定点，无论坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(Ⅰ)【解析】 【分析】

（I）结合椭圆的性质，计算a,b的值，即可。（II）（i）计算直线AF的斜率，得到BF的斜率，得到直线BF的方程，代入椭圆方程，得到B点坐标，计算AB直线的斜率，结合点斜式，计算方程，即可。（ii）设出直线AF的方程，代入椭圆方程，结合韦达定理，得到直线AB的斜率，设出直线AB的方程，令y=0，计算x的值，计算点坐标，即可。 【详解】解：（I）设椭圆的标准方程为：离心率为

，

，的最小值为，

，

，

（， ，

）

；（Ⅱ）（i）

；（ii）存在定点

.

如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出该定点的

.

点为椭圆上任意一点，且

，

解得

椭圆的方程为（II） （i）由题意

， ，

直线代入

为：

，得

.

，

， ， ，解得

或

，

代入，得，舍，或，.

，直线的方程为：.

（ii）存在一个定点证明：设直线代入

的方程为：

，得

，无论，

如何变化，直线总经过此定点.

上，

在于轴的对称点在直线，

，

由韦达定理得，，

由直线令

的斜率，得：

，

，得的方程为：

， ，

，

对于动直线，存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点.

【点睛】考查了椭圆方程计算方法，考查了点斜式直线方程计算方法，考查了直线与椭圆方程的位置关系，难度偏难。

请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题计分，作答时请标明题号。 22.在直角坐标系

中，直线的参数方程是

（为参数），曲线的参数方程是

（

为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求直线和曲线的极坐标方程； （Ⅱ）已知射线

（其中

. ，

(Ⅱ)

，

.

）与曲线交于，两点，射线

与直线交于点，若

的面积为1，求的值和弦长【答案】(Ⅰ)【解析】 【分析】

（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换． （Ⅱ）利用三角函数关系式的恒等变变换和三角形的面积公式的应用求出结果． 【详解】（Ⅰ）直线的普通方程为曲线的普通方程为（Ⅱ）依题意，∵

，∴

，极坐标方程为

，极坐标方程为

，

.

，

，

，

∴

，

，∴

，

.

【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 23.已知（I）若

，

，

设函数

的解集；

，

，求不等式