四川省成都市第七中学2019届高三二诊模拟考试数学（文）附答案解(2)

三棱锥D-ABC即为该几何体，结合题意可知高为2，故体积为

，DC垂直平面BC，可知

，取BD的中点O，结合题意可知AD垂直平面AB，故

，故结合直角三角形的性质可知，点O到A,B,C,D四点的距离相等，故该三棱锥的外接球半径，故外接球体积

，故三棱锥和外接球体积之比为

，故选A。

【点睛】考查了球体积计算公式，考查了三棱锥体积计算公式，考查了三视图转化为直观图，难度偏难。 12.设双曲线点为，若以A.

（

）的左右焦点分别为

，以

为直径的圆与双曲线左支的一个交

（为坐标原点）为直径的圆与

B.

相切，则双曲线的离心率为（ ） C.

D.

【答案】D 【解析】 试题分析： 解：设以可知：

，解得：

，

（为坐标原点）为直径的圆与

相切于点 ,圆心为点 ，

，

，由题意

设 ，则 ，

在中可得： ，

据此可得：整理可得：

，

，则：

，

分解因式有：双曲线的离心率解得：

双曲线的离心率：本题选择D选项.

，故：

，

，

，

.

点睛：在双曲线的几何性质中，涉及较多的为离心率和渐近线方程．

求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立 的关系式求 或 的范围；另一种是建立的齐次关系式，将 用

表示，令两边同除以 或化为 的关系式，进而求解．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.抛物线【答案】 【解析】 【分析】

结合抛物线的性质，计算焦点坐标，计算当【详解】焦点坐标为

，故当

时，

时，y的值，计算通径，即可。 ，故通径长为8.

的通径长为__________.

【点睛】考查了抛物线的性质，考查了通径的概念，难度中等。 14.某人次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为，，差为，则【答案】 【解析】 【分析】

结合平均数和方差的计算方法，建立方程，计算结果，即可。 【详解】结合题意，建立方程，得到

，计算得到

，，.已知这组数据的平均数为，方

的值为__________.

故

【点睛】考查了平均数计算，考查了方差计算，关键结合平均数和方差计算公式，建立方程，计算结果，即可，难度中等。 15.已知实数，满足【答案】【解析】 【分析】

结合不等式组，建立可行域，平移目标函数，计算参数，即可。 【详解】结合题意，绘制可行域，如图

，若

的最大值为，则实数

__________.

将直线平移，可知该直线过C点的时候，对应的x-y能够取到最大值，

C点的坐标为

，所以

计算C点坐标满足

，解得

【点睛】考查了线性规划问题，考查了结合最值计算参数问题，难度偏难。 16.已知直线

与

两点都在以

为直径的球的表面上，

，

，

，若球的体积为

，则异面

所成角的正切值为__________．

【答案】 【解析】 【分析】

作出满足题意的图形，易得与

平面所成角．

，∴，又

的外心为

，∴

的中点，∴，∵

平面

，易证，∴

，，∴

平面，∴

，从.

的外心为

的中点，则与

平面

，

，求出异面直线

，计算出球半径，设所成角为，利用

【详解】∵而球的半径

设故

与所成角为，则.

.

【点睛】本题考查了异面直线所成角问题，考查了球的有关性质，考查了空间想象能力及运算能力，属于中档题．

三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17.如图，在三棱柱中别为

，

的中点.

，侧面

底面

，

，

，

，，分

（1）求证：直线（2）求三棱锥

平面的体积.

；

【答案】（1）详见解析；（2）【解析】 【分析】

.

（1）结合平面与平面平行的判定，得到平面结合直线与平面垂直判定，得到【详解】（1）证明：取平面所以四边形

，

平面

平面

平面，利用体积关系

，结合平面与平面平行的性质，即可。（2）

，计算体积，即可。

，且

的中点，所以

，

.又

的中点，连接

，所以

，，由于，分别为平面

.又

是平行四边形.

则所以所以平面所以直线

又平面

平面. 平面平面

.又

，平面，

平面，

（2）解：令由于为连接

中点，则

，

，平面

， ，又侧面两两垂直. ，

底面

，交线为

，

平面

，则

平面

，

，可知

由（1）知直线

【点睛】考查了直线与平面平行的判定，考查了三棱锥的体积计算方法，难度偏难。 18.在数列

中，

，

，设

，

（Ⅰ）求证数列（Ⅱ）设

是等差数列，并求通项公式； ，且数列

的前项和，若（Ⅱ）

，求使

恒成立的的取值范围.

【答案】（Ⅰ）证明见解析；【解析】 【分析】

（Ⅰ）根据题中所给的条件，取倒数，即可证明，注意利用等差数列的定义和通项公式； （Ⅱ）用错位相减法求和，之后将恒成立问题转化为最值来处理即可得结果. 【详解】证法一：解：（Ⅰ）由条件知，所以，又故数列

，所以

，所以，数列的通项公式为：

，

是首项为1，公差为1的等差数列， .

，

证法二：由条件，得又故数列

，所以，数列的通项公式为：

是首项为1，公差为1的等差数列， . ， ，① ②

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则