江苏省扬州中学2017届高三上学期12月月考试题 数学 Word版含答案

2017届扬州中学高三数学月考卷 2017.12

第I卷(必做题 共160分)

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中横线上． 1．已知复数

1?z?i，则z的实部为＿＿▲＿＿． 1?z2．如图是一次青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1,a2，则a1,a2的大小关系是______▲_______(填a1?a2，a2?a1，a1?a2)

23．命题p:?x0?R,x0?2x0?1?0是 ▲ 命题

（选填“真”或“假”）．

4．若长方体相邻三个侧面的面积分别是2，3，6，则该长方体的体积是 ▲ ． 5．已知圆C：x2?y2?6x?8?0，若直线y?kx与圆C相切，且切点在第四象限，则k?＿▲＿＿＿．

6．已知f?x?为奇函数，当x?0时，f?x??ex?x2，则曲线y?f?x?在x?1处的切 线斜率为 ▲ ． 7．函数y?sinx?3cosx的图像可由函数y?sinx?3cosx的图像至少向右平移

___▲______个单位长度得到．

8．已知直线m,l,平面?,?,且m??，l??，给出下列命题：①若?//?，则m?l；②

若m?l，则?//?；③若???，则m//l；④若m//l，则???.其中正确的命题是_____▲_____________． 9．已知点P(x,y)满足??0?x?1,则点Q(x?y,y)构成的图形的面积为＿＿▲＿＿．

0?x?y?2.?12y2210．以抛物线y?x的焦点为圆心，且与双曲线x??1的渐近线相切的圆的方程是

83___▲___．

11．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D,E分别是边AB,BC的中点，连接DE并延长

????????到点F，使得DE?2EF，则AF?BC的值为 ▲ ．

12．对任意x?R，函数

f(x)满足f(x?1)?f(x?)2f[1x(?，)]设 2

- 1 -

31，则f(15)?＿▲＿＿＿＿． 16x3222213．若实数x，y满足x?4xy?4y?4xy?4，则当x?2y取得最大值时，2的值为

yan?[f(n)]2?f(n)，数列{an}的前15项的和为?▲ ．

14．已知等差数列?an?首项为a，公差为b，等比数列?bn?首项为b，公比为a，其中a,b都

是大于1的正整数，且a1?b1,b2?a3，对于任意的n?N*，总存在m?N*，使得

am?3?bn成立，则a5?b5?___▲___.

二、解答题：(本大题6小题，共90分) 15．(本题满分14分)

在锐角?ABC中,角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,向量

???m??1,coBs?,n?sinB,?3,且m?n.

??(1)求角B的大小; (2)若?ABC面积为

332,3ac?25?b,求a,c的值. 2

16．(本题满分14分)在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，

AC与BD交于O,EC?底面ABCD，F为BE的中点．

(1)求证：DE∥平面ACF； (2)若AB=EFG?平面BDE使C2CE,在线段EO上是否存在点G，

EG若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

EO？

CODAB

17．(本题满分14分)

如图所示，把一些长度均为4米（PA＋PB＝4米）的铁管折弯后当作骨架制作“人字形”帐蓬，根据人们的生活体验知道：人在帐蓬里“舒适感”k与三角形的底边长和底边上的高度有关，设AB为x，AB边上的高PH为y，则k?（1）求“舒适感” k的取值范围；

（2）已知M是线段AB的中点，H在线段AB上，设MH＝t，当人在帐蓬里的“舒适感”k

达到最大值时，求y关于自变量t的函数解析式；并求出y的最大值（请说明详细理由）。

x?yx?y22 ，若k越大，则“舒适感”越好。

- 2 -

18．(本题满分16分)

x2y2平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别是F1、

abF2．且FF2?23，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心1为半径的圆相交，且交点１在椭圆错误！未找到引用源。上．

(1)求椭圆C的方程；

(2) 若P为椭圆错误！未找到引用源。上任意一点，过点错误！未找到引用源。的直线

x2y2y?kx?m错误！未找到引用源。 交椭圆E：??1错误！未找到引用源。于 A，

164B两点，射线ＯＰ交椭圆E于点Q．

(i)若ＯＱ＝?ＯＰ，求错误！未找到引用源。?的值； (ii)求四边形AOBQ面积的最大值．

19．(本题满分16分) 已知数列{an}的前n项和为Sn,且对于任意n?N*,总有

Sn?2(an?1).

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)在an与an?1之间插入n个数,使这n?2个数组成等差数列,当公差d满足3?d?4时,求n的值并求这个等差数列所有项的和T; (3)记an?f(n),如果cn?n?f(n?log2m)(n?N*),问是否存在正实数m,使得数

列{cn}是单调递减数列?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.

20．(本小题满分16分)

- 3 -

设函数f(x)?x?sinx,g(x)?xcosx?sinx.x

（1）对于任意x?(0,?]，使得f(x)?a恒成立，求实数a的取值范围；

（2）若g(bx)?bxcosbx?bsinx(b??1)对x?(0,?]恒成立，求实数b的取值范围．

第Ⅱ卷(附加题 共40分)

??021． 已知矩阵A???1??1?3??，点M??1,1?，N?0,2?．求线段MN在矩阵A?1对应的变换作用2??3??下得到线段M?N?的长度．

?x?sin??cos?22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?(?为参数)，若以直角坐标系

y?sin2??xOy的O点为极点，x轴正方向为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得直线l的极坐标

???方程为2?cos?????1．求直线l与曲线C交点的极坐标．

6??

23. 如图， PC?4，AC?BC?3，PC?平面ABC，在三棱锥P?ABC中，?ACB?90?.点D在线段AB上，AD＝2DB.

⑴ 求异面直线BC与PD所成角的余弦值； ⑵ 求直线BC与平面PAB所成角的余弦值．

- 4 -

24．设某校新、老校区之间开车单程所需时间为?，?只与道路畅通状况有关，对其容量为200的样本进行统计，结果如下： ?（分钟） 25 30 35 40 频数（次） 40 60 80 20 （1）求?的分布列与数学期望??； （2）唐教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求唐教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．

12月考参考答案：第I卷(必做题) 一、1．0 2．a2?a1．3．真 4．

6 5．?1??2． 6．?2 7．． 8．①④

e34319．2. 10． x?(y?2)?1 11． 12．4． 13．42 14．102

822二、15．解：(1) m?n??1,cosB???sinB,?3?1?sinB?cosB??3

????sinB?3cosB

???????m?n,?m?n?0 ?sinB?3cosB?0

??ABC为锐角三角形,?cosB?0 ?tanB?3, ?0?B??2，?B??3

222222(2)由b?a?c?2accosB,得b?a?c?ac,

222代入3ac?25?b得3ac?25?a?c?ac,得a?c?5

?S?ABC?11?3acsinB?ac?sin?ac 2234由题设

333,得ac?6 ac?42EFGCBOA?a?2?a?3?a?c?5联立?, 解得?,或?. c?3c?2ac?6??? - 5 - D