天津市新人教版数学2013高三单元测试题7《圆与方程》(2)

即4x－3y＋20＝0. 又直线m与l平行，

∴直线m的方程为4x－3y＝0.

故两平行直线的距离为d＝

2

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＝4.

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2

12.解析：选C.圆x＋y－4x－2y－4＝0可化为(x－2)＋(y－1)＝9，直线mx＋2ny－4＝0始终平分圆周，即直线过圆心(2,1)，所以2m＋2n－4＝0，即m＋n＝2，mn＝m(2－m)＝－m＋2m＝－(m－1)＋1≤1，当m＝1时等号成立，此时n＝1，与“m≠n”矛盾，所以mn＜1.

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二.填空题

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13.x+y－2x+2y-23=0

14.

15.

16.

三.简答题

17.解：法一：由题意可设所求的方程为(x－3)＋(y－6)＋λ(4x－3y＋6)＝0，又因为此圆过点(5,2)，将坐标(5,2)代入圆的方程求得λ＝－1，所以所求圆的方程为x＋y－10x－9y＋39＝0.

法二：设圆的方程为(x－a)＋(y－b)＝r， 则圆心为C(a，b)，由|CA|＝|CB|，CA⊥l，得

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2

解得

2

2

所以所求圆的方程为(x－5)＋(y－

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)＝

2

.

法三：设圆的方程为x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0，由CA⊥l，A(3,6)，B(5,2)在圆上，得

解得

所以所求圆的方程为x＋y－10x－9y＋39＝0.

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法四：设圆心为C，则CA⊥l，又设AC与圆的另一交点为P，则CA的方程为y－6＝－3)，

即3x＋4y－33＝0.

(x－

又因为kAB＝＝－2，

所以kBP＝，所以直线BP的方程为x－2y－1＝0.

解方程组得所以P(7,3)．

所以圆心为AP的中点(5，)，半径为|AC|＝.

所以所求圆的方程为(x－5)＋(y－

2

)＝

2

.

18.解：(1)连接OQ.OP，则△OQP为直角三角形，

又|PQ|＝|PA|， 所以|OP|＝|OQ|＋|PQ| ＝1＋|PA|，

所以a＋b＝1＋(a－2)＋(b－1)， 故2a＋b－3＝0.

(2)由(1)知，P在直线l：2x＋y－3＝0上， 所以|PQ|min＝|PA|min，为A到直线l的距离，

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2

2

所以|PQ|min＝

2

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＝

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.

2

2

2

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(或由|PQ|＝|OP|－1＝a＋b－1＝a＋9－12a＋4a－1＝5a－12a＋8＝5(a－1.2)＋0.8，得

|PQ|min＝.)

(3)以P为圆心的圆与圆O有公共点，半径最小时为与圆O相切的情形，而这些半径的最小值为圆O到直线l的距离减去圆O的半径，圆心P为过原点与l垂直的直线l′与l的交点P0，

所以r＝－1＝－1，

又l′：x－2y＝0，

联立l：2x＋y－3＝0得P0(，)．

所以所求圆的方程为(x－

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)＋(y－

2

)＝(

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－1).

2

19.解：(1)方程x＋y－2x－4y＋m＝0，可化为 (x－1)＋(y－2)＝5－m，

2

2

∵此方程表示圆，

∴5－m＞0，即m＜5.

(2)

2

2

消去x得(4－2y)＋y－2×(4－2y)－4y＋m＝0， 化简得5y－16y＋m＋8＝0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则

2

由OM⊥ON得y1y2＋x1x2＝0 即y1y2＋(4－2y1)(4－2y2)＝0， ∴16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0.

将①②两式代入上式得

16－8×＋5×＝0，

解之得m＝.

(3)由m＝，代入5y－16y＋m＋8＝0，

2

化简整理得25y－80y＋48＝0，解得y1＝

2

，y2＝.

∴x1＝4－2y1＝－，x2＝4－2y2＝.

∴M，N，

∴MN的中点C的坐标为.

又|MN|＝ ＝，

∴所求圆的半径为.