2013年高考数学必考知识点3 不等式及线性规划问题(3)

?－3≤a＜－2.

故a的取值范围是[－3,1]．

不等式的综合应用

不等式的综合应用主要体现在不等式与函数、方程、导数、数列等其它知识的综合应用．不等式作为一种工具经常与函数、方程结合在一起，用其研究函数和方程的有关题目；再就是利用函数和方程的理论研究不等式．题目难度较大．

【例4】? 设函数f(x)＝x2＋aln(1＋x)有两个极值点x1，x2，且x1＜x2. (1)求a的取值范围，并讨论f(x)的单调性； (2)证明：f(x2)＞[审题视点]

[听课记录]

[审题视点] 第(1)问基础常规，第(2)问要证明不等式，常规方法很难见效，转而构造函数，反复利用导数作工具研究函数的单调性，其中需要一定的探究能力．

2x2＋2x＋a(1)解 f′(x)＝2x＋＝(x＞－1)．

1＋x1＋x1－2ln 2

. 4

a1

令g(x)＝2x2＋2x＋a，其对称轴为x＝－. 2

－1－1－2a－1＋1－2a由题意知x1、x2是方程g(x)＝0的两个均大于－1的不相等的实根，且x1＝，x2＝，

22

??Δ＝4－8a＞0，

其充要条件为?

?g－1＝a＞0，?

1

得0＜a＜. 2

①当x∈(－1，x1)时，f′(x)＞0， ∴f(x)在(－1，x1)内为增函数； ②当x∈(x1，x2)时，f′(x)＜0， ∴f(x)在(x1，x2)内为减函数； ③当x∈(x2，＋∞)时，f′(x)＞0， ∴f(x)在(x2，＋∞)内为增函数．

(2)证明 当x∈(x2，＋∞)时，f′(x)＞0， 1

∴－＜x2＜0.a＝－(2x22＋2x2)．

2

2

∴f(x2)＝x22＋aln(1＋x2)＝x22－(2x2＋2x2)ln(1＋x2)．

1设h(x)＝x2－(2x2＋2x)ln(1＋x)?x＞－?，

?2?

则h′(x)＝2x－2(2x＋1)ln(1＋x)－2x＝－2(2x＋1)ln(1＋x)．

?1?①当x∈－，0时，h′(x)＞0， ?2??1?∴h(x)在－，0上单调递增； ?2?

②当x∈(0，＋∞)时，h′(x)＜0，

h(x)在(0，＋∞)上单调递减．

111－2ln 2

∴当x∈?－，0?时，h(x)＞h?－?＝. ?2??2?41－2ln 2

故f(x2)＝h(x2)＞.

4

在确定函数的单调区间时，往往需要对所求出的导数中的参数进行分类讨论来解决，不等式的证明常常借助构造函数，利用函数的单调性进行证明，从而使问题的解决变得简单、明快．

1

【突破训练4】 已知函数f(x)＝x3－3ax2－9a2x＋a3.若a＞，且当x∈[1,4a]时，|f′(x)|≤12a恒成立，试确

4定a的取值范围．

解 f′(x)＝3x2－6ax－9a2的图象是一条开口向上的抛物线，关于x＝a对称．

1

①若＜a≤1，则f′(x)在[1,4a]上是增函数，从而f′(x)在[1,4a]上的最小值是f′(1)＝3－6a－9a2，最大值

4是f′(4a)＝15a2.

由|f′(x)|≤12a，得－12a≤3x2－6ax－9a2≤12a，

[来源:Z.xx.k.Com]

于是有f′(1)＝3－6a－9a2≥－12a，且f′(4a)＝15a2≤12a. 14

由f′(1)≥－12a，得－≤a≤1，由f′(4a)≤12a，得0≤a≤.

3511414

所以a∈?，1?∩?－，1?∩?0，?，即a∈?，?.

?4??3??5??45?②若a＞1，则|f′(a)|＝12a2＞12a.

故当x∈[1,4a]时，|f′(x)|≤12a不恒成立．

14

所以使|f′(x)|≤12a(x∈[1,4a])恒成立的a的取值范围是?，?.

?45?

把握好含参二次不等式的分类标准的四个“讨论点”

含参数的二次不等式的解法常常涉及到参数的讨论问题，如何选择讨论标准是学生不易掌握的地方．实际上，只要把握好下面的四个“讨论点”，一切便迎刃而解．

分类标准一：二次项系数是否为零，目的是讨论不等式是否为二次不等式； 分类标准二：二次项系数的正负，目的是讨论二次函数图象的开口方向； 分类标准三：判别式的正负，目的是讨论二次方程是否有解； 分类标准四：两根差的正负，目的是比较根的大小．

【示例】? (2012·汕头调研)已知函数f(x)＝ax＋＋c(a＞0)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1. (1)用a表示出b，c；

(2)若f(x)≥ln x在[1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围． [满分解答] (1)f′(x)＝a－2，

?f???f′bxbx则有?

1＝a＋b＋c＝0，1＝a－b＝1，

解得?

?b＝a－1，?

??c＝1－2a.

(4分)

(2)由(1)知，f(x)＝ax＋令g(x)＝f(x)－ln x ＝ax＋

a－1

＋1－2a. xa－1

＋1－2a－ln x，x∈[1，＋∞)， x则g(1)＝0，

a－11

g′(x)＝a－2－

xxax－x－a－1＝

x2

2

ax－1x－

x2

1－a＝

a.(8分)

11－a①当0＜a＜时，＞1.

2a若1＜x＜

1－aa，则g′(x)＜0，g(x)是减函数，所以g(x)＜g(1)＝0，即f(x)＜ln x．故f(x)≥ln x在[1，＋∞)

上不恒成立．(10分)

11－a②当a≥时，≤1.

2a若x＞1，则g′(x)＞0，g(x)是增函数，所以g(x)＞g(1)＝0，即f(x)＞ln x，故当x≥1时，f(x)≥ln x. 1

综上所述，所求a的取值范围为，＋∞.(12分)

2

老师叮咛：对不确定的根的大小关系不加区分，整体表现为不能有序地进行分类讨论，对于分类讨论的题目没有

结论，这都是造成失分的原因，切记！

【试一试】 (高考题改编)解关于x的不等式ax－(2a＋1)x＋2＜0. 解 不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0， 即(ax－1)(x－2)＜0.

2

?1?(1)当a＞0时，不等式可以化为x－(x－2)＜0.

?

a?

11

①若0＜a＜，则＞2，

2a1

此时不等式的解集为?2，?；

?a?1

②若a＝，则不等式为(x－2)2＜0，不等式的解集为?；

211?1?③若a＞，则＜2，此时不等式的解集为，2. 2a?a?(2)当a＝0时，不等式即－x＋2＜0， 此时不等式的解集为(2，＋∞)．

1

(3)当a＜0时，不等式可以化为?x－?(x－2)＞0.

?a?

[来源:学.科.网]

11??由于＜2，故不等式的解集为－∞，∪(2，＋∞)．

a?a?

1

综上所述，当a＜0时，不等式的解集为?－∞，?∪(2，＋∞)；

?a?

当a＝0时，不等式的解集为(2，＋∞)； 11

当0＜a＜时，不等式的解集为?2，?；

2?a?1

当a＝时，不等式的解集为?；

211

当a＞时，不等式的解集为?，2?.

2?a?