2013年高考数学必考知识点3 不等式及线性规划问题

2013年高考数学必考知识点3 不等式及线性规划问题

1．(2011·上海)若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式恒成立的是( )．

A．a2＋b2＞2ab

112C.＋＞

B．a＋b≥2ab D.＋≥2

ababbaab答案：D [对于A：当a＝b＝1时满足ab＞0，但a2＋b2＝2ab，所以A错；对于B、C：当a＝b＝－1时满足ab＞0，112ba但a＋b＜0，＋＜0，而2ab＞0，＞0，显然B、C不对；对于D：当ab＞0时，由基本不等式可得＋≥2abababba·ab＝2.]

2．(2012·辽宁)若x∈[0，＋∞)，则下列不等式恒成立的是( )．

A．ex≤1＋x＋x2 B.

11≤1－x＋x2

241＋x1

1

C．cos x≥1－x2

21

D．ln(1＋x)≥x－x2

8

答案：C [正确命题要证明，错误命题只需举一个反例即可．如A，因为e3＞1＋3＋32，故A不恒成立；同理，当

x＝时，

13

11212??＞1－x＋x，故B不恒成立；因为cos x＋x－1′＝－sin x＋x≥0(x∈[0，＋∞))，且x＝0时，24?2?1＋x1

2

12

18

1

2

y＝cos x＋x2－1＝0，所以y＝cos x＋x2－1≥0恒成立，所以C对；当x＝4时，ln(1＋x)＜x－x，故D不恒成立．]

＋2y≥2，

?x3．(2012·山东)设变量x，y满足约束条件?2x＋y≤4，

?4x－y≥－1，

则目标函数z＝3x－y的取值范围是( )．

A.?－，6?

3?2

?

3

B.?－，－1? ?2?

3D.?－6，? ?2?C．[－1,6] 答案：A [

作出不等式组所表示的区域如图，由z＝3x－y得，y＝3x－z，平移直线y＝3x，由图象可知当直线经过点E(2，0)时，直线y＝3x－z的截距最小，此时z最大为z＝3×2－0＝6，当直线经过C点时，直线y＝3x－z的截距最大，此

?4x－y＝－1，?

时z最小，由?

??2x＋y＝4，

1??x＝，

2解得???y＝3，

333

此时z＝3x－y＝－3＝－，所以z＝3x－y的取值范围是?－，6?.]

22?2?

≥0，?x4．(2012·安徽)若x，y满足约束条件?x＋2y≥3，

?2x＋y≤3，解析

则x－y的取值范围是________．

记z＝x－y，则y＝x－z，所以z为直线y＝x－z在y轴上的截距的相反数，画出不等式组表示的可行域如图中△

ABC区域所示．结合图形可知，当直线经过点B(1,1)时，x－y取得最大值0，当直线经过点C(0,3)时，x－y取得最小

值－3.

答案 [－3,0]

本部分内容高考主要考查以下几方面：

(1)考查利用基本不等式求最值、证明不等式等，利用基本不等式解决实际问题．

(2)考查以线性目标函数的最值为重点，目标函数的求解常结合其代数式的几何意义(如斜率、截距、距离、面积等)来求解．

(3)一元二次不等式经常与函数、导数、数列、解析几何相结合考查参数的取值范围，以考查一元二次不等式的解法为主，并兼顾二次方程的判别式、根的存在等．

不等式部分重点掌握一元二次不等式的解法，特别是含有字母参数的一元二次不等式的解法，基本不等式求最值，二元一次不等式组所表示的平面区域，包括平面区域的形状判断、面积以及与平面区域有关的最值问题，简单的线性规划模型在解决实际问题中的应用．对不等式的深入复习要结合数列、解析几何、导数进行.

必备知识

�嵰辉�二次不等式

(1)一元二次不等式的解集可以由一元二次方程的解结合二次函数的图象得来，不要死记硬背，二次函数的图象是联系“二次型”的纽带．

(2)对含参数的不等式，难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因，确定好分类标准(如最高次系数、判别式、根相等)，层次清楚地求解．

(3)与一元二次不等式有关的恒成立问题，通常转化为根的分布问题，求解时一定要借助二次函数的图象，一般考虑四个方面：开口方向、判别式的符号、对称轴的位置、区间端点函数值的符号．

�嵒�本不等式

(1)基本不等式a2＋b2≥2ab取等号的条件是当且仅当a＝b；当且仅当x＝y时，(2)几个重要的不等式：①ab≤?

x＋y2

≥xy(x＞0，y＞0)取等号．

?2?

a＋b?2

(a，b∈R)；

②

a2＋b2a＋b2≥

2

≥ab≥

2ab(a＞0，b＞0)； a＋b1

③a＋≥2(a＞0，当a＝1时等号成立)；

a2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，当a＝b时等号成立)； |a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|. (3)最值问题：设x，y都为正数，则有

①若x＋y＝s(和为定值)，则x＝y时，积xy取得最大值；

4②若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2p.

�嵄冉戏ā⒆酆戏ā⒎治龇ê褪�学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点．

�嵔饩鱿咝怨婊�问题的一般步骤 (1)确定线性约束条件； (2)确定线性目标函数； (3)画出可行域；

(4)利用线性目标函数(直线)求出最优解；

(5)据实际问题的需要，适当调整最优解(如整数解等)．

s2

必备方法

1．解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)或ax2＋bx＋c＜0(a≠0)，可利用一元二次方程、一元二次不等式和二次函数间的关系．

2．使用基本不等式以及与之相关的不等式求一元函数或者二元函数最值时，基本的技巧是创造使用这些不等式的条件，如各变数都是正数，某些变数之积或者之和为常数等，解题中要根据这个原则对求解目标进行适当的变换，使之达到能够使用这些不等式求解最值的目的．在使用基本不等式求函数的最值、特别是求二元函数最值时一定要注意等号成立的条件，尽量避免二次使用基本不等式．

3．平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集．线性目标函数z＝ax＋by中的z不是直线ax＋by＝z在y轴上的截距，把目标函数化为y＝－x＋可知是直线ax＋by＝z在y轴上的截距，要根据b的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值.

abzbzb基本不等式的应用

常考查：①直接利用基本不等式求最值；②先利用配凑法等进行恒等变形，再利用基本不等式求最值．近几年高考试题常考查实际应用题中基本不等式的应用，应引起我们的重视．

【例1】? (2010·重庆)已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )．

A．3 B．4 C. D. [审题视点]

92112

[听课记录]

[审题视点] 将已知式改写成y关于x的表达式，再代入x＋2y消元，整理成应用基本不等式的形式求最值． B [∵x＋2y＋2xy＝8，∴y＝

8－x＞0，∴－1＜x＜8， 2x＋2

∴x＋2y＝x＋2·

8－x9

＝(x＋1)＋－2≥2 2x＋2x＋1

x＋1·

9

－2＝4，此时x＝2，y＝1，故选B.] x＋1

当函数或代数式具有“和是定值”、“积是定值”的结构特点时，常利用基本不等式求其最大、最小值．在具体题目中，一般很少考查基本不等式的直接应用，而是需要对式子进行变形，寻求其中的内在关系，然后利用基本不等式得出结果．

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