2013年高考数学必考知识点3 不等式及线性规划问题(2)

不等式解法的考查

常考查：①含参不等式的求解；②已知含参不等式恒成立，求参数的取值范围，尤其是一元二次不等式的求解是高考重点考查的知识点之一，几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，要注意解题的灵活性．

【例3】? 若不等式x－ax＋1≥0对于一切x∈(0,2]成立，求a的取值范围． (1)若题中区间改为x∈[－2,2]，求a的取值范围； (2)若题中区间改为a∈[－2,2]，求x的取值范围． [审题视点]

[听课记录]

[审题视点] 原题可利用分离法求解；(1)分离参数后，需分x＝0，x∈(0,2]，x∈[－2,0)讨论；(2)利用变换主元法求解．

2

x2＋1x2＋12x解 原不等式可化为a≤，而≥＝2，

xxx所以a的取值范围是(－∞，2]．

[来源:学科网]

x2＋1

(1)因为x∈[－2,2]，而当x＝0时，原式为0－a·0＋1≥0恒成立，此时a∈R；当x≠0时，令f(x)＝＝xx2

1＋，

x则当x∈(0,2]时，知a∈(－∞，2]，所以当x∈[－2,0)时，

x2＋1x2＋11

因为a≥，令f(x)＝＝x＋，

xxx由函数的单调性可知，

所以f(x)max＝f(－1)＝－2，所以a∈[－2，＋∞)， 综上可知，a的取值范围是[－2,2]．

(2)因为a∈[－2,2]，则可把原式看作关于a的函数， 即g(a)＝－xa＋x2＋1≥0，由题意可知，

??g??g?

－22＝x＋2x＋1≥0，

2

＝x2－2x＋1≥0，

解之得x∈R，

所以x的取值范围是(－∞，＋∞)．

本题考查了不等式恒成立问题，在给定自变量的取值范围时，解有关不等式问题时，往往采用分离变量或适当变形，或变换主元，或构造函数，再利用函数的单调性或基本不等式进行求解，在解答时，一定要注意观察所给不等式的形式和结构，选取合适的方法去解答．

【突破训练3】 已知f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围． 解

设F(x)＝x2－2ax＋2－a，则问题的条件变为当x∈[－1，＋∞)时，F(x)≥0恒成立．∵当Δ＝(－2a)2－4(2－a)

＝4(a＋2)·(a－1)≤0，即－2≤a≤1时，F(x)≥0恒成立．

又当Δ＞0时，F(x)≥0在[－1，＋∞)上恒成立的充要条件是 Δ＞0，??F－1≥0，?－2a??－2≤－1

?a＞1或a＜－2，

?

??a≥－3，??a≤－1