气体分子热运动的统计规律(2)

p?故m?sdzdpp?nm?zmpkTdz?????p0?z?0处压强?p0???0mgkT积分得lnp0p?mgzkt??mgzkT??gzRT

???????(1)故p?p0e对应高度z?kTmgln?p0eRTp0p??glnp0p????????(2)式（1）：等温气压公式 式（2）：等温高度公式 （２） 物理意义

在温度不变情况下，大气压强随高温增加而接指数规律减少（Z↑，P↓）

2、 气体分子在重力场中的分布（distribution of gas molecular in gravity field）

利用P=nkT可得

n?n0e?mgzKT

分子数密度n随高z的增加而接指数规律减少 二、玻耳兹曼他分布（Boltzmann distribution）

1、 公式（formula）

可以得出（推导过程不要求）

n?Ae?EIKT

n——分子数密度 A——常量

Ei——粒（分）子的能量

2、 物理意义（meaning of physics）

具有Ei能量的分子数密度n随Ei的增加而按指数规律减少——微观粒子优先占领低能级。

3、 应用（application）

很广，如分离同位素，激光理论等

§14-4 麦克斯韦速率分布律

（Maxwell speed distribution）

一、麦克斯韦速率分布律（Maxwell speed distribution）

?EikT——玻耳兹曼因子

1、内容（content）

处于平衡态的气体，其分子处于某一速率附近（v～v?dv） 的数目dN与总分子数N之比

dNN?4n(m2nKT)32e?mv22KTvdv?f(v)dv

2（其推导不作要求） 2、实质（substance） 是一概率分布

反映分子以速率v出在dv速率间隔内的分子占总分子数的比率，亦即出现概率。 3、特点（characteristic）

具有归一性，即?dNN?1??f(v)dv

二、分布函数与分布曲线（distribution function and distribution curve）

4、 分布函数（distribution function）

（１） 概念

f(v)?4n(（2）实质

概率密度

5、 分布曲线（distribution curve）

（１） 概念

反映分布函数f（v）随v而变化的曲线

（２） 得来

① 定量法

制表—计算一连点成图

v v1 v2 ……

f(v) f1 f2 ……..

② 定性法

m2nKT)32e?mv22KTv2?dNNdv

m1?m2(T相同)f(v)T2?T1(m相同)vp1vp2

1） v= 0, f (v) = 0,过O点，

2） 初时 v小?,v2???e?kv?陡 3） 而后 v大??v 4） 拐点 v?vp

（３） 几何意义

曲线下方面积→概率

曲线下方总面积=1 （归一化） （A） 最概然速率

① 概念：对应拐点的速率

② 物理意义：分子以该速率出现概率最大

由dfdv?0可得kTm?1.41RT?kv22?? 缓慢

③ 大小：

vp?1.41?

（４） 影响分布曲线形状的因素：

①m=c T↑， vp↑，右移，线矮平 ②T=c， m↑，vp↓，左移，线陡峭

（参见附图）

三、应用（application）

——两种速率的计算

1、平均速率（mean speed）

v??vf(v)dr?......??3?x28KTm?1.60kTm?1.60RT?

利用积分公式?xe0dx?12。

2、平均根速率（root-mean-square speed）

v2??v2f(v)dr ??3kTmV2

?3kTm?1.73kTm?1.73RT?３、三种速率比较 （１）大小

v2:v:vp?1.73:1.60:1.41

（它们有公共因子（2）用途

v2kTm）

——分子(动能)能量)

v——分子运动(平均自由程vp——分子按速率分布三、随堂练习（practice on the class）

1、 注意（take note）

（１） 理解f（v）的物理意义，会用它来分析简单情况下的分子分布。 （２） 理解分布线与vp的关系，会用m、T的变化分析判断分布曲线的形状。 2、 例题（example）

例14—5 设N（很大）个气体分子的速率分布函数

f(x)? ?c(v?v0)v0

(0?v?v0)(v?v0)

其中c、v0 为常量，且已知，求

（１） 常量c；

（２） 速率在 0～0.3v0 间分子数。

解（1）分布函数中的常量常由归一化条件求解

?v0v0由?f(x)dv?0?0f(v)dv?v0??c(v?v00)vdv ??c(v33?v32v0)??0v033c?1

得 c?6v03

（2）据麦克斯韦速率分布律可得

?NN?0.3v0??0f(v)dr60.3v0?0?6v0[v33(v?v0)vdv?vv02]00.3v0

??v033?0.216 故 ?N?0.216N

① 随堂小议（discuss on the class）

设某温度下氢与氧的分布函数曲线如图所示

f(v) 则代表氧的分布函数曲线为 （１） 曲线① （２） 曲线②

（②）

§14-5气体分子的平均动能 理想气体的内能

(mean kinetic energy of gas molecular internal energy of ideal gas)

一、自由度（free degree）

1、 概念（concept）

确空物体空向位置所需独立坐标数 2、 数目（number）