气体分子热运动的统计规律

第十四章 气体分子热运动的统计规律

（statistical law of thermal motion of gas molecular） §14-1 平衡态 概率 统计平均值

（equilibrium state，probability，statistical mean quantity） 一、平衡态（equilibrium state） 1、概念（concept）

宏观性质长时间不改变的状态 2、描述（describe）

（1）状态参量

① 体积Ｖ：气体分子所能到达的空间（m） ② 压强Ｐ：单位面积上受到的压力 （

单位面积的动量变化率 （

③ 温度Ｔ：气体的冷热程度 （Ｋ）

） ）

3ＶＰＴ间关系——物态方程

pV?MRT

? （但只有两个是独立变量）

（２）几何图形（Ｐ－Ｖ图）

① 平衡态：点ａ（ｐ、v）

② 准静态过程

过程：物态随时间的变化, 多点集合——曲线

准静态过程：过程变化缓慢，每一步均可视为平衡态。 它在Ｐ－Ｖ图上为一曲线，如ａb。 二、概率（probability）

1、 概念（concept）

事件出现的相对机会，即可能性 2、 表示（expression）

N（N很大）次试验中，x事件出现了Ni次则X事件出现的概率

P（X）=

NiN （离散事件）

如果事件连续分布，且f（x）表示单位间隔中出现的概率， （亦称概率密度或分布函数）则出现在dx间隔中的概率 p（x）= f（x）dx 3、 特性（specific property） （1） 小于1 ， p（x）≤1 （2） 归1 ， ∑p（x）=1 ,?率相等

三、平均值（mean quantity）

1、 概念（concept ）

物理量的平均大小，表示量上加“一”，如x 2、 计算（computer） （１） 离散情况 x??xiNiN?x1p1?x2p2?......?xnpn

?0f(x)dx?1

4、 等概率假设（postulate of equal probability）处于平衡态时，分子向各个方向运动概

（２） 连续情况

x??xf(x)dx

某变量的平均值＝该量与分布函数的乘积对变量积分

§14—2 气体压强与温度的统计意义

（statistical meaning of gas pressure and temperature）

一、气体的微观模型（microscopic model of gas ）

1、 微观模型 （microscopic model）

（１） 分子可视为质点，同类分子的质量相同

（２） 分子除碰撞外无其它相作用，而分子的碰撞为弹性碰撞 2、 验证（verification）

不能直接用实验

而是根据其推论与宏观实际（气体宏观实验）一致性来检验

二、压强（pressure）

1、 实质（substance）

大量分子对器壁的碰撞， 单位面积的动量变化率

p?F?s?p??t ?s

2、 公式（formula）

（1）如图，一个分子质量为m，速率为vi的分子

与器壁?s碰后动量大小的变化（在x方向上）

nvivi?s

?pi??2mvicos???2mvix (力学) (2)一群处于斜高为vi?t，底面为

?s 的柱体中速率基本为vi的分子与?s碰后的动量变化

① 柱体中速率基本为vi的分子数(设分子数密度为ni， ? N'?ni?s?tvicos② 它们与 ?s碰后动量的变化

?Pi'?N'?pi??2nimv?s?t ix但据等概率假设，有一半的分子可能反向

运动而不能与?s同时相碰，故动量变化应修正减半，即 ?Pi??nimv?s?t ix斜柱体中各种速率分子与?s相碰后引起总动量变化

?P???Pi??m?nivix?s?tn222n ??nm?nin2vix?s?t2（统计）

??nmvx?s?t

据等概率假设

v?vx?vy?v2?3vx

222222即 vx?故气体动量的变化 ?p??nmv2v23 （统计）

3?s?t

气体受到器壁的作用： F'??p?t??nmv23?s

（4）根据牛顿第三定律，气体对器壁的作用力F??F'

压强公式

据定义

?p?t ?s13k p? ? 式中 ，?nmv?122?223n12mv2?23n?k

mv 为单个分子的平均动能

统计力学处理问题方法小结

（１） 对单个粒子：用牛顿力学规律

（２） 对大量粒子：用统计规律（求平均值）

３、统计意义（statistical meaning）

∵公式的推导应用了统计的概念及方法 ∴压强是个统计量，是大量分子的集体表现，对少数几个分子说它们有多大压强无意义。

三、温度（temperature）

1、 公式（formula）

由物态方程

pv?p?M?V?RT,加工整理,得?NVNmRTVNAm?nRvN4T?nkT?23n?MRTk

式中,n?k?RNA为分子数密度为玻耳兹曼常量故得

32kT??x~v

22、 微观意义（microscopic meaning）

从温度公式可以看出，温度随分子运动速度增减面增减 温度是分子热运动剧烈程度的量度 3、 统计意义（statistical meaning）

从温度公式可以看出 T~?K （统计平均量）

∴温度是个统计量，是大量分子热运动的集体表现，离开了大量分子，仅说单个分子

或少数几个分子，有多高温度是没有意义的。 ４、说明（explain）

（1）在很多物理公式中，k，T 均以乘积形式同时出现，互不分离，故我们亦无必要 将其拆开，由于kT的量纲与能量相同，

故也有人用能量单位来表示温度

（2）P=nkT 由物态方程PV =

MRT导出，因此也有人将其符为物态方程

?① 随堂小议（discuss on the class）

关于温度的概念：下列说法中不正确的是（3）

（１） 温度的高低反映了物体内部分子运动剧烈程度的不同； （２） 气体的温度是分子平均平动动能的是度；

（３） 从微观上看，气体的温度表示气体每个分子的冷热程度； （４） 气体的温度是大量气体分子的集体形为，具有统计性

§14—3 玻耳兹曼分布律

（Boltzmann distribution）

一、气体分子在重力场中的分布（distribution of gas molecular in gravity field）

1、 等温气压公式（isothermal-pressure formula）

（１） 公式（formula）

p?dpz?dzp0?sz0

利用空气柱模型可得压力差 dp??mg?s??pgdz

利用p=nkt可得密度