精校word含答案2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷（数学(2)

（参考数据：80?344.7，81?350.5，124?618.3，126?631.7）

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2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学（理工类）试题参考答案

一、选择题 二、填空题

三、解答题 17．

18．

19．

（Ⅰ）直线l∥平面PAC，证明如下：

连接EF，因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC. 又EF?平面ABC，且AC?平面ABC，所以EF∥平面ABC. 而EF?平面BEF，且平面BEF平面ABC?l，所以EF∥l.

因为l?平面PAC，EF?平面PAC，所以直线l∥平面PAC.

第19题解答图1 第19题解答图2

（Ⅱ）（综合法）如图1，连接BD，由（Ⅰ）可知交线l即为直线BD，且l∥AC. 因为AB是O的直径，所以AC?BC，于是l?BC.

已知PC?平面ABC，而l?平面ABC，所以PC?l. 而PCBC?C，所以l?平面PBC.

连接BE，BF，因为BF?平面PBC，所以l?BF.

故?CBF就是二面角E?l?C的平面角，即?CBF??.

11DQ?CPDQ?CP22由，作DQ∥CP，且.

连接PQ，DF，因为F是CP的中点，CP?2PF，所以DQ?PF， 从而四边形DQPF是平行四边形，PQ∥FD.

连接CD，因为PC?平面ABC，所以CD是FD在平面ABC内的射影， 故?CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即?CDF??. 又BD?平面PBC，有BD?BF，知?BDF为锐角，

故?BDF为异面直线PQ与EF所成的角，即?BDF??， 于是在Rt△DCF，Rt△FBD，Rt△BCF中，分别可得

CFBFCFsin??sin??DF，DF，BF，

CFBFCFsin?sin?????sin?BFDFDF从而，即sin??sin?sin?.

11DQ?CPDQ?CP22（Ⅱ）（向量法）如图2，由，作DQ∥CP，且. sin??连接PQ，EF，BE，BF，BD，由（Ⅰ）可知交线l即为直线BD.

以点C为原点，向量CA,CB,CP所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA?a,CB?b,CP?2c，则有

1E(a,0,c),F(0,0,c)C(0,0,0),A(a,0,0),B(0,b,0),P(0,0,2c),Q(a,b,c),2.

1FE?(a,0,0)2于是，QP?(?a,?b,c)，BF?(0,?b,c)， |FE?QP|ab2?c22cos???sin??1?cos??222222|FE|?|QP|a?b?ca?b?c所以，从而.

sin??|m?QP|c?|m|?|QP|a2?b2?c2，

又取平面ABC的一个法向量为m?(0,0,1)，可得

设平面BEF的一个法向量为n?(x,y,z)，

?1?ax?0,??n?FE?0,?2?,. )?n?BF?0, 可得???by?cz?0. 取n?(0,cb所以由?|cos?|?|m?n|bc?sin??1?cos2??|m|?|n|b2?c2，从而b2?c2.

于是

sin?sin??故20．

b2?c2a?b?c222?cb?c22?ca?b?c222?sin?，即sin??sin?sin?.

2（Ⅰ）由于随机变量X服从正态分布N(800,50)，故有??800，

??50

P(700?X?900)?0.9544.

由正态分布的对称性，可得

p0?P(X?900)?P(X?800)?P(800?X?900)

11?P(700?X?900)?0.977222. （Ⅱ）设A型、B型车辆的数量分别为x, y辆，则相应的营运成?本为1600x?2400y.

依题意, x, y还需满足:x?y?21, y?x?7, P(X?36x?60y)?p0.

第20题解

由（Ⅰ）知，p0?P(X?900)，故P(X?36x?60y)?p0等价于36x?60y?900. ?x?y?21, ?y?x?7,???36x?60y?900,?x, y?0，x, y?N,于是问题等价于求满足约束条件?