高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析-4(3)

3种排法；由于3 个同学必须排在一起，A35种排法。由乘A5我们可视排好的女同学为一个整体，在与男同学排队，这时是五个元素的全排列，应有法原理，有

35A3?A5?720种不同排法。

（2）先将男生排好，共有

43种排法；再在这4个男生的中间及两头的5 个空中插入3个女生，有A5种A4方案。故符合条件的排法共有

43A4?A5?1440种。 23（3）甲、乙2人先排好，共有A2种排法；再从余下的5人中选三人排在甲、乙2人中间，有A5种排法，这时把已排好的5人看作一个整体，与剩下的2人再排，又有A3种排法；这样，总共有种不同的排法。

（4）先排甲、乙、丙3人以外的其他四人，有

42种排法，由于甲、乙要相邻，故把甲、乙排好，有A2种A423423A4?A2?A3?720排法；最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空当中，有A5种排法；这样，总共有

422A4?A2?A5?960种不同的排法。

（5）从七个位置中选出4个位置把男生排好，有生要按高矮排列。故仅有一种排法。这样总共有

A74种排法；然后再在余下得个空位置中排女生，由于女

A74种不同的排法。

【知识点归类点拨】解决有限制条件的排列问题方法是：①直接法：?位置分析法?②间接法：即排除不符合要求的情形③一般先从特殊元素和特殊用加法原理（分类）?元素分析法?用乘法原理（分步）?插入法（不相邻问题）?捆绑法（相邻问题）?位置入手。 【练52】（2004年辽宁）有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就坐，规定前排中间三个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数（ ） A、234 B、346 C、350 D、363

解析：把前后两排连在一起，去掉前排中间3个座位，共有

212A20?A19?A2?4?346种。

rn?rrTr?1?Cnab12种，再加上4种不能算相邻的，共有A19?A2【易错点53】二项式展开式的通项公式为

kkPn?k??CnP?1?P?n?k，事件A发生k次的概率：的

概

率

公

式

：

。二项分布列

kkn?kpk?Cnpq,k?0,1,2,3??,n且0?p?1,p?q?1，三者在形式上的相似，在应用容易混

淆而导致出错。

例53、（2004年全国理）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得—100分。假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响。

（1） 求这名同学回答这三个问题的总得分?的概率分布和数学期望。 （2） 求这名同学总得分不为负分（即??0）的概率。

【易错点分析】对于满足二项分布的分布列的概率计算公式中对于随机变量?以及二项分布的条件的理解出错。

解析：（1）?的可能取值为—300，—100，100，300。

P????300??0.23?0.008P????100??3?0.22?0.8?0.096P???100??3?0.2?0.8?0.3842

P???300??0.83?0.512所以?的概率分布为

? P —300 0.008 —100 0.096 100 0.384 300 0.512 根据?的概率分布，可得?的期望

E????300??0.008???100??0.096?100?0.384?300?0.512?180

（2）这名同学总得分不为负分的概率为

P???0??0.384?0.512?0.896。

【知识点归类点拨】二项分布是一种常见的重要的离散型随机变量分布列，其概率

P???k??k?0,1,2,??就是独立重复实验n次其中发生k次的概率CnkPk?1?P?际问题时一定看清是否满足二项分布。

n?k。但在解决实

【练53】（2004年重庆理18）设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯（允许通行）的概率为

34，遇到红灯（禁止通行）的概率为

14。假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，?表

示停车时已经通过的路口数，求：

（1）?的概率分布列及期望E?；（2）停车时最多已通过3个路口的概率。 解析：（1）?的所有可能值为0，1，2，3，4。用

Ak表示“汽车通过第k个路口时不停”‘则

P?Ak??31?k?1,2,3,4?且A1,A2,A3,A4独立。故P???0??PA1? 44313319P???1??PA1?A2???,P???2??PA1?A2?A3?()2??,

44164464???????3?127P???3??PA1?A2?A3?A4?????,44256????381?3?P???4??P?A1?A2?A3?A4?????256?4?从而?的分布列为

4

?P 0 1 2 3 4 13927 416642561392781525E??0??1??2??3??4??

4166425625625681175?（2）P???3??1?P???4??1?。 256256【易错点54】正态总体N81 256??,?2?的概率密度函数为f?x??1e2??x221e2????x???22?2,x?R，当

??0,??1时，f?x??使用范围上是不同的。

,x?R，叫作标准正态总体N?0,1?的概率密度函数，两者在

例54、灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为?（单位：小时），已知??N?1000,302?，要使灯泡的平均寿

命为1000小时的概率为99.700，问灯泡的最低使用寿命应控制在910小时以上。 【易错点分析】由于?服从正态分布，故应利用正态分布的性质解题。 解析：因为灯泡的使用寿命??N?1000,302?，故?在

?1000?3?30,1000?3?30?的概率为

99.700，即?在?910,1090?内取值的概率为99.700，故灯泡的最低使用寿命应控制在910小时以上。

【知识点归类点拨】在正态分布N布N2??,??中，?为总体的平均数，?为总体的标准差，另外，正态分2??,??在????,????的概率为68.3200，在???3?,??3??内取值的概率为99.700。解题时，应当注意正态分布N【练54】一总体符合N解析：由题意可得P??,??在各个区间的取值概率，不可混淆，否则，将出现计算失误。 ?0,1?，若??1??a,??2??b，则该总体在（1，2）内的概率为 。

?1???2???(2)??(1)?b?a。

【易错点55】对于数列的两个基本极限①limqn??n?0；②limSn?n??a11?q，两个极限成立的条件不同，

前者为

q?1；而后者为0?q?1。

Sn??an?中，a1?1，且n项和Sn，满足limn??2例55、在等比数列

1,那么a1的取值范围是（ ） a1A、

?1,??? B、?1,? C、?1,2? D、?1,4?

?a1，求a1的范围时，容易忽视q?0这个条1?q【易错点分析】利用无穷递缩等比数列的各项和公式s件。

解析：设公比为q，由limSnn???1知a11?a1??1?qa?a21?1?q122?????a1?1?1??0?a1?2??q?1????2又a1?1所以1?a1?2。 ?q?12??q?0?q?0??a1?1?a1?1?0?????存在?q?1或q?1???n【知识点归类点拨】对于limq??0?q?1?，公比的绝对值小于1的无穷等比数列n?????不存在?q?1或q??1?前n项和在n无限增大时的极限，叫做这个无穷数列各项的和。 【练55】lim3n3n?1??a?1?nn???1，求a的取值范围。 3?lim解析：

3n3n?1??a?1?nn??1?a?1??lim??lim???0nn??n??33???a?1?3??? ?3?1n?a?1?1,??4?a?23【易错点56】立体图形的截面问题。

例56、（2005哈师大附中、东北师大附中高三第二次联考）正方体

ABCD--A1B1C1D1，E、F分别是AA1、

，过E、D、P作正方体的截面，若截面为四边形，则P的轨CC1的中点，p是CC1上的动点（包括端点）迹是（）