高中高考数学易错易混易忘题分类汇总及解析-4

[练习44]（2003年江苏，21）已知a?0，n为正整数。设y??x?a?n，证明

y??n?x?a?n?1；

（1） 设

fn?x??xn??x?a?n，对任意n?a，证明fn?1??n?1???n?1?fn??n?

解析：证明：（1）??x?a?n?knk??Cn??a?k?0nnn?kxk,

?y???kCk?1nkn??a?xk?1k?1??nCn?1??a?k?1n?kxk?1?n?x?a?n?1

（2）对函数

fn?x??xn??x?a?n求导数：

n?1fn??nxn?1?n?x?a?，

n?1?fn??n??n?nn?1??n?a??.当x?a?0时，fn??x??0

???当n?a时，fn?x??xn??x?a?n是关于x的增函数因此，当nn?a时，

?n?1?n??n?1?a??nn??n?a?n。

nnnn?1?fn?1??n?1???n?1???n?1???n?1?a????n?1??nn??n?a????n?1??nn?n?n?a??????????n?1?fn??n?即对任意n?a，fn?1??n?1???n?1?fn??n?.

【易错点45】求曲线的切线方程。 例45、（2005高考福建卷）已知函数f（－1））处的切线方程为6x?，且在点M（－1，f(x)?x3?bx2?ax?d的图象过点P（0，2）

y?7?0. （Ⅰ）求函数y?f(x)的解析式；

【思维分析】利用导数的几何意义解答。 解析：（Ⅰ）由

32，知d=2，所以f(x)?x?bx?cx?2, f(x)的图象经过P（0，2）

f?(x)?3x2?2bx?c.由在M(?1,f(?1))处的切线方程是6x?y?7?0，知

?6?f(?1)?7?0,即f(?1)?1,f?(?1)?6.?3?2b?c?6,?2b?c?3,32??即?解得b?c??3.故所求的解析式是f(x)?x?3x?3x?2. ??1?b?c?2?1.?b?c?0,【知识点归类点拔】导数的几何意义:函数y=f(x)在点x0处的导数，就是曲线y=(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率．由此，可以利用导数求曲线的切线方程．具体求法分两步： (1)求出函数y=f(x)在点x0处的导数，即曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率；(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，

求得切线方程为

如果曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线平y?y0?f'(x0)(x?x0)特别地，

行于y轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为x有可能出现在解析几何综合试题中，复习时要注意到这一点.

【练45】（1）（2005福建卷）已知函数

?x0。利用导数的几何意义作为解题工具，

f(x)?ax?6的图象在点M（－1，f(x)）处的切线方程为2x?bx+2y+5=0.

（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；答案：

f(x)?2x?6

x2?3（2）（2005高考湖南卷）设t?0，点P（t，0）是函数f(x)?x3?ax与g(x)?bx2?c的图象的

?ab??t3.故

一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.（Ⅰ）用t表示a，b，c；答案：ca??t2，b?t，c??t3.

【易错点46】利用导数求解函数的单调区间及值域。

例46、( 2005全国卷III)已知函数

4x2?7f?x??，x??01，?（Ⅰ）求f?x?的单调区间和值域；

2?x（Ⅱ）设a22?1，函数g?x??x?3ax?2a，x??01，，，?，若对于任意x1??01?，总存在x0??01?使得g?x0??f?x1?成立，求a的取值范围。

y?g?x?在区间?01，?上的

【易错点分析】利用导数求函数的单调区间仍然要树立起定义域优先的意识，同时要培养自已的求导及解

不等式的运算能力第（Ⅱ）问要注意将问题进行等价转化即转化为函数值域是函数

f?x?的值域的子集，从而转化为求解函数y?g?x?在区间?01，?上的值域。

?4x2?16x?7解析(Ⅰ)

f?(x)??2?x?22??(2x?1)(2x?7)?2?x?22，令

f?(x)?0解得x?12或

x?72,在

11x?(0,)，f?(x)?0,所以f(x)为单调递减函数；在x?(,1)，f?(x)?0,所以f(x)为单调

2271递增函数；又f(0)??,f(1)??3,f()??4，即f(x)的值域为[-4，-3]，所以f(x)的单调递

2211减区间为(0,)，f(x)的单调递增区间为(,1)，f(x)的值域为[-4，-3].( 单调区间为闭区间也可以).

22（Ⅱ）∵g?(x)?3(x2?a2),又a?1，当x?(0,1)时，g?(x)?3(1?a2)?0，

因此，当x?(0,1)时，g(x)为减函数，从而当x?[0,1]时，有g(x)?[g(1),g(0)].

又g(1)?1?2a?3a任给x1?[0,1]，有

2,g(0)??2a，即当x?[0,1]时，有g(x)?[1?2a?3a2,?2a]，

f(x1)?[?4,?3]，存在x0?[0,1]使得g(x0)?f(x1)，

a?2。 35?a?1,或a????则?1?2a?3a??43又a?1，所以a的取值范围是1????3?2a??3??a???22【知识点分类点拔】高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，侧重于考查导数在函数与解析几何中的应用，主要有以下几个方面：①运用导数的有关知识，研究函数最值问题，一直是高考长考不衰的热点内容．另一方面，从数学角度反映实际问题，建立数学模型，转化为函数的最大值与最小值问题，再利用函数的导数，顺利地解决函数的最大值与最小值问题，从而进一步地解决实际问题．用导数研究函数的性质比用初等方法研究要方便得多，因此，导数在函数中的应用作为2006年高考命题重点应引起高度注意．单调区间的求解过程，已知

y?f(x) （1）分析 y?f(x)的定义域； （2）求导数

y??f?(x)（3）解不等式f?(x)?0，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式f?(x)?0，解

集在定义域内的部分为减区间，对于函数单调区间的合并:函数单调区间的合并主要依据是函数

f(x)在

(a,b)单调递增，在(b,c)单调递增，又知函数在f(x)?b处连续，因此f(x)在(a,c)单调递增。同

理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为以个区间。

3

2

【练46】（1）（2005高考北京卷）已知函数f(x)=－x＋3x＋9x＋a, （I）求f(x)的单调递减区间；（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．答案：（1）（－∞，－1），（3，

＋∞）（2）－7

（2）(2005 全国卷III)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小

正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?

答案：当x=10时,V有最大值V(10)=1960

【易错点47】二项式

?a?b?nn展开式的通项中，因a与b的顺序颠倒而容易出错。

?2?例47、?x??32x??展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，则x的一次项为 。

【易错点分析】本题中若x与23x2的顺序颠倒，项随之发生变化，导致出错。

解析：椐题意有：Cn21?22???Cn?2??162,即2n?n?1??2n?162,?n?9

则Tr?1?C9r?x?39?r9?r2r??2?9?r2rrr23??1,?r?3 由??32??C9???2??x23x??r3?T4???1??23?C9x??672x

【知识点归类点拨】二项式

?a?b?n与?b?a?n的展开式相同，但通项公式不同，对应项也不相同，在

遇到类似问题时，要注意区分。

?41?【练47】（潍坊高三质量检测）?x?11?x??数项为 。 解析：据题意有

n展开式中第5项与第12项系数的绝对值相等，则展开式的常

??1?4411Cn???1?Cn11，即

4n?411411,?n?4?11,?n?15 ?Cn?Cn?CnCn?Cnr?1?r60?15r令60?15r?0,得：r?4故展开式中常数项为：???11????1?C15x?x?rTr?1?Cr15?x?415?r??1?44C15?1365

【易错点48】二项式展开式中的项的系数与二项式系数的概念掌握不清，容易混淆，导致出错。

?32?例48、在?x?2?x??5的展开式中，x的系数为 ，二项式系数为 。

5【易错点分析】在通项公式Tr?1解析：令15?5rr?C5?2r?x15?5r中，C5r是二项式系数，C5r?2r是项的系数。

22?5，得r?2，则项x5的二项式系数为C5?10，项的系数为C5?22?40 …… 此处隐藏：3498字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……