高中数学点线对称问题

对称问题专题

【知识要点】

1.点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题.

设P（x0，y0），对称中心为A（a，b），则P关于A的对称点为P′（2a－x0，2b－y0）. 2.点关于直线成轴对称问题

由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”.利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标.一般情形如下：

设点P（x0，y0）关于直线y=kx+b的对称点为P′（x′，y′），则有

y??y0·k=－1，

x??x0可求出x′、y′.

x??x0y??y0=k·+b，

22特殊地，点P（x0，y0）关于直线x=a的对称点为P′（2a－x0，y0）；点P（x0，y0）关于直线y=b的对称点为P′（x0，2b－y0）.

3.曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）.一般结论如下：

（1）曲线f（x，y）=0关于已知点A（a，b）的对称曲线的方程是f（2a－x，2b－y）=0. （2）曲线f（x，y）=0关于直线y=kx+b的对称曲线的求法： 设曲线f（x，y）=0上任意一点为P（x0，y0），P点关于直线y=kx+b的对称点为P′（x，y），则由（2）知，P与P′的坐标满足

y?y0·k=－1， x?x0x?xy0?y=k·0+b，

22代入已知曲线f（x，y）=0，应有f（x0，y0）=0.利用坐标代换法就可求出曲线f（x，y）=0关于直线y=kx+b的对称曲线方程.

4.两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： （1）点（x，y）关于x轴的对称点为（x，－y）； （2）点（x，y）关于y轴的对称点为（－x，y）； （3）点（x，y）关于原点的对称点为（－x，－y）； （4）点（x，y）关于直线x－y=0的对称点为（y，x）； （5）点（x，y）关于直线x+y=0的对称点为（－y，－x）.

从中解出x0、y0，

【典型例题】

【例1】 求直线a：2x+y－4=0关于直线l：3x+4y－1=0对称的直线b的方程.

剖析：由平面几何知识可知若直线a、b关于直线l对称，它们具有下列几何性质：（1）若a、b相交，则l是a、b交角的平分线；（2）若点A在直线a上，那么A关于直线l的对称点B一定在直线b上，这时AB⊥l，并且AB的中点D在l上；（3）a以l为轴旋转180°，一定与b重合.使用这些性质，可以找出直线b的方程.解此题的方法很多，总的来说有两类：一类是找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程；另一类是直接由轨迹求方程.

2x+y－4=0，

解得a与l的交点E（3，－2），E点也在b上 解：由 3x+4y－1=0，

方法一：在直线a：2x+y－4=0上找一点A（2，0），设点A关于直线l的对称点B的坐标为（x0，y0），

2?x00?y0+4×－1=0， 22由 y?04y?(?2)x?3480=，解得B（，－）.由两点式得直线b的方程为=，

84x0?2355?2?(?)3?55即2x+11y+16=0.

方法二：设直线b上的动点P（x，y）关于l：3x+4y－1=0的对称点Q（x0，y0），则有

x?x0y?y03×+4×－1=0，

223×

y?y047x?24y?6?24x?7y?8=. 解得x0=，y0=. x?x032525Q（x0，y0）在直线a：2x+y－4=0上，

7x?24y?6?24x?7y?8+－4=0，

2525化简得2x+11y+16=0是所求直线b的方程. 方法三：设直线b上的动点P（x，y），直线a上的点Q（x0，4－2x0），且P、Q两点关于直线l：3x+4y－1=0对称，则有

|3x?4y?1||3x0?4(4?2x0)?1|=，

55则2×

y?(4?2x0)4=.

x?x03

消去x0，得2x+11y+16=0或2x+y－4=0（舍）.

评述：本题体现了求直线方程的两种不同的途径，方法一与，除了点E外，分别找出确定直线位置的另一个条件：斜率或另一个点，然后用点斜式或两点式求出方程，方法二与方法三是利用直线上动点的几何性质，直接由轨迹求方程，在使用这种方法时，要注意区分动点坐标及参数，本题综合性较强，只有对坐标法有较深刻的理解，同时有较强的数形结合能力才能较好地完成此题.

【例2】 光线从点A（－3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过点 B（－2，6），求射入y轴后的反射线的方程.

剖析：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称.

解：∵A（－3，4）关于x轴的对称点A1（－3，－4）在经x轴反射的光线上， 同样A1（－3，－4）关于y轴的对称点A2（3，－4）在经过射入y轴的反射线上，

6?4=－2.

?2?3故所求直线方程为y－6=－2（x+2）， 即2x+y－2=0.

评述：注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透. 【例3】 已知点M（3，5），在直线l：x－2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小. 剖析：如下图，作点M关于直线l的对称点M1，再作点M关于y轴的对称点M2，连结MM1、MM2，连线MM1、MM2与l及y轴交于P与Q两点，由轴对称及平面几何知识，可知这样得到的△MPQ的周长最小.

∴kA2B=

yM2QPOMlM1x

解：由点M（3，5）及直线l，可求得点M关于l的对称点M1（5，1）.同样容易求得点M关于y轴的对称点M2（－3，5）.

据M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x+2y－7=0.

7）. 2x+2y－7=0， 59得交点P（，）. 解方程组 x－2y+2=0， 24597故点P（，）、Q（0，）即为所求.

242评述：恰当地利用平面几何的知识对解题能起到事半功倍的效果. 深化拓展

令x=0，得到M1M2与y轴的交点Q（0，

恰当地利用平面几何的知识解题.

不妨再试试这个小题：已知点A（1，3）、B（5，2），在x轴上找一点P，使得|PA|+|PB|最小，则最小值为____________，P点的坐标为____________.

答案：41 （

17，0） 5

【巩固练习】

1.已知点M（a，b）与N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线x+y=0对称，则点Q的坐标为

A.（a，b） B.（b，a）C.（－a，－b） D.（－b，－a） 解析：N（a，－b），P（－a，－b），则Q（b，a）． 答案：B

2.曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线方程是

A.y2=8－4x B.y2=4x－8 C.y2=16－4x D.y2=4x－16

解析：设曲线y2=4x关于直线x=2对称的曲线为C，在曲线C上任取一点P（x，y），则P（x，y）关于直线x=2的对称点为Q（4－x，y）.因为Q（4－x，y）在曲线y2=4x上，

所以y2=4（4－x），即y2=16－4x. 答案：C

3.已知直线l1：x+my+5=0和直线l2：x+ny+p=0，则l1、l2关于y轴对称的充要条件是

15p1= B.p=－5 C.m=－n且p=－5 D.=－且p=－5

nmnm解析：直线l1关于y轴对称的直线方程为（－x）+my+5=0，即x－my－5=0，与l2比较， ∴m=－n且p=－5.反之亦验证成立. 答案：C

4.点A（4，5）关于直线l的对称点为B（－2，7），则l的方程为____________. 解析：对称轴是以两对称点为端点的线段的中垂线. 答案：3x－y+3=0

5.设直线x+4y－5=0的倾斜角为θ，则它关于直线y－3=0对称的直线的倾斜角是____________. 解析：数形结合. 答案：π－θ

A.

6.已知圆C与圆（x－1）2+y2=1关于直线y=－x对称，则圆C的方程为 A.（x+1）2+y2=1 B.x2+y2=1

C.x2+（y+1）2=1 D.x2+（y－1）2=1 解析：由M（x，y）关于y=－x的对称点为（－y，－x）， 即得x2+（y+1）2=1. 答案：C

7.与直线x+2y－1=0关 …… 此处隐藏：4088字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……