微积分下 第二版 课后习题答案 同济大学(7)

?2???/201?1??/2sin??cos4??d????cos5?0?425102222（2）将z?2y代入z?x?y得到xoy平面上的一个圆x??y?1??1，用直角坐标公

式计算

???zdv??dx???111?1?x21?1?xdy?222yx?y2zdz，由于计算量较大，请同学一试。

用柱坐标计算x?rcos?,y?rsin?,z?z

???zdv??d???0?2sin?0dr?2r2rsin?zrdz??d??0?2sin?01r(4r2sin2??r4)dr2???08616531?5sin?d????3364226

（3）用柱坐标x?rcos?,y?rsin?,z?z计算

22zdv?d?drz??????rdz?2???0002?12r2r116r(z3)dr??

003151（4）用直角坐标计算

???xy?2zdv??xdx?ydy?zdz??xdx?000031x2xy31x0121xy2441 xydy??dx?0428364

习题2-3

1、 解：（1）因为连接点（1，0）和（2，1）的直线段的方程为y?x?1,1?x?2，所以

?(x?y)L?1ds??[x?(x?1)]12?11?(1)dx??2212dx?2

（2）L??x?2?y2ds???n2?0?a2cos2t?a2sin2t?n(?asint)2?(acost)2dt

??a2n?1dt?2?a2n?102?（3）

L2yds?2a?322?01?cost[a(1?cost)]2?(asint)2dt32?2a?2?

0(1?cost)dt?4?a 23

（4）因为星形线的参数方程为x?acost,y?asint，所以

22??2?33?2a3(?3acos2tsint)2?(3asin2tcost)2dx?x?yds?4??0??L??

33?12a53??20costsintdx?6asint02?6a532?53（5）因为折线ABCD由线段AB，BC和CD构成，在线段AB上，x?y?0,在线的BC上，y?0,而在线段CD上，x?1,z?2,y?t,0?t?3且ds?dy?dt

?xL2yzds?AB?x0t02yzds?BC?x2yzds?CD?x2yzds?0?0??12?t?2dt?9

03?zds??Lt0t?cost?tsint?2?(sint?tcost)2?1dt（6）

??011?22?t2d(2?t2)??2?t023???32? ?2??322、解：因为曲线L的极坐标方程为r?

1

?，所以

s??ds??L4334r??r??d???2243341??2?2d?，又

?1??2?2d????tanucosu1d(sinu)?du??sin2ucos2u?sin2u(1?sin2u)

1/21/2??1???2???d(sinu)1?sinu1?sinusinu??111?sinu???ln?Csinu21?sinu??43341??2 ?

1??2?11??2???ln?C221????53?ln 1222所以 s??1??2?2?0d??s??ds??Lr2??r??d????0?0e2a??a2ea?d?

3、解：

?1?a2?1?a2a?a?ed??(e?1)a习题2-4

1、（1）解：将曲面向xoy平面投影，得投影区域Dxy：x2+y2≤R2,从而有

24

??zdS??Dxy??R2?x2?y2?RR2?x2?y2dxdy

?Dxy23Rdxdy?R??R??R???0?x?2(2) 解：将平面向XOY平面投影，得投影区域，Dxy:?0?y?3?3x2?4(z?2x?y)dS???3??,从而有积分

Dxy??(4?2x?4422y?2x?y)1?zx?zydxdy33

Dxy??461dxdy?461322（3）解：由 ?1:z?1 （x?y?1）得 dS?dxdy,Dxy:x?y?1

22 由?2:z?(x?y)(0?z?1) 得

1222x2y2dS?(1?2?2)2dxdy?2dxdy22x?yx?y

Dxy:x2?y2?12?11??zx?ydS??1?222Dxy??x?ydxdy?222?d??rdr?2??002?12??;332?2

2222??zx?ydS???(x?y)2dxdy?2?Dxy0d??r2rdr?01所以，

222222??zx?ydS???(x?y)dS???(x?y)dS???1?22?2?? 322、解：将被截得的平面向XOY平面投影，又有已知条件的，z?c?ccx?y， abcczx??,zy??，设所求的面积为A，则有

abA???dS??Dxy??1?(?c2c1)?(?)2dxdy?ab22a2b2?a2c2?c2b2

23、解：将曲面向XOY平面投影，得投影区域，Dxy:x?y?4,且zx??2x,zy??2y， 设所求的面积为A，则有

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