微积分下 第二版 课后习题答案 同济大学(6)

（3）因为积分区域?的上曲面为开口向上的旋转抛物面z?x?y，下曲面为z?0，积分区域?在xoy坐标面上的投影区域Dxy:?1?x?1;x2?y?1，所以

22???f?x,y,z?dv???1?1dx?2dy?x1x2?y20f?x,y,z?dz

3、解：积分区域?如图2-2-1所示

???xzdxdydz???1?1xdx?2dy?x1y01211zdz??xdx?2ydy??x(1?x6)dx?0

?1x26?111另解：因为积分区域?关于坐标面yoz对称，又f(x,y,z)?xz关于第一坐标是奇函数，所以

???xzdxdydz?0。

?4、解：积分区域?如图2-2-2所示，当0?z?h时，过(0,0,z)作平行与xoy面的平面，

2?2R???R22R?x?y2??z?与立体?的截面为圆Dz:??h?，因而Dz的半径为hz，面积为h2z，

?z?z?故

???zdxdydz???h0zdz??dxdy?Dz?R2h2?h0zdz?3?R2h24

5、求下列立体?的体积

解（1）曲面所围立体是球体与旋转抛物面的一部分（如图2-2-3所示），用柱面坐标计算：

V????dv????rdrd?dz???d??dr?r2??0042?322?25??rdz

1122??[?(5?r2)?r4]0??(55?4)03163

图2-2-1 图2-2-2 图2-2-3

（2）因为积分区域?的上曲面为平面z?1?x，下曲面为z?0，积分区域?在xoy坐标面上的投影区域Dxy:y?x?1;?1?y?1，所以

21

2V????dv??dy?2dx???1y111?x0111?11?8dz??dy?2(1?x)dx?2???y2?y4?dy?

?1y022?15?6、利用柱面坐标计算下列三重积分

解：（1）因为积分区域?的上曲面为开口向上的上半球面z?口向上的旋转抛物面z?x?y，将z?x?y代入z?22222?x2?y2，下曲面为开

2?x2?y2得z?2?z，

解此方程得z?1积分区域?在xoy坐标面上的投影区域Dxy:x2?y2?1，由柱坐标公式得：Dxy:0???2?,0?r?1

???zdv??d??dr?2?00r2?12?r2zrdz?2??17?r2?r2?r4dr?。 02121??（2）因为积分区域?的上曲面为平面z?2，下曲面为开口向上的旋转抛物面2z?x?y，

22将z?2代入2z?x?y得x?y?4，所以积分区域?在xoy坐标面上的投影区域

2222Dxy:x2?y2?4，由柱坐标公式得：Dxy:0???2?,0?r?2

2?22212?16?2233?(x?y)dv?d?drrdz?2?r2?rdr?。 ?????????00r2/2023???7、利用球面坐标计算下列三重积分

解：（1）用球面坐标计算

22244(x?y?z)dv?rsin?drd?d??d?sin?d?r?????????dr??0002??14??1??2??(?cos?)0??r5????5?05（2）用球面坐标计算

1

???zdv????rcos??r??2sin?drd?d???d??02??/40sin?cos?d??2acos?0r3dr

?2????/40?/41sin?cos??(2acos?)4d??8?a4?sin?cos5?d?04?/48?a4??cos6?607??a468、选用适当的坐标计算下列三重积分

?0?r?cos???解：（1）积分区域?为球，故用球面坐标计算：?:?0???，所以

2??0???2?

22

???x2?y2?z2dv??d??02??/20d??cos?0r?r2sin?dr?2???/20sin?d??cos?0r3dr