微积分下 第二版 课后习题答案 同济大学(4)

即：x-y-4z=0，法线方程为：

xzyzx?1y?1z?1 ???1?12'''x?2y?2z?1x?2y?2z?1，即： ????4ln24ln2?16ln211?44、解：??z1?z11111?,}?{,} ，? ??z(1,2)?{?xx?y?yx?yx?yx?y(1,2)33又∵抛物线y2?4x在(1,2)点处的切线斜率为：

dy?1 dx(1,2) 12

???dy?∴抛物线y2?4x在(1,2)点处偏向x轴正向的切线方向为T??1,??{1,1}

??dx(1,2)???11?∴T0??,?

?22?故所求的方向导数为：习题1-6

1（题略）. 解：由

?z?T(1,2)222?11??11???? ??,???,?63?33??22?6?f?f??4?2y?0,有 x=2, y=-2, 即P0(2, -2)为 f(x,y) 的驻点, ?4?2x?0, ?y?x?2f?2f?2f?2f又??2,?0,2??2, D（P0）=4>0,2(P0)=-2 2?x?x?y?x?y故P0 (2,-2)为f(x,y)的极大值点, 其极大值为f(2,-2)=8.

2（题略）.

??f?3x2?6y?39令0??x2?2y?13?0??x解：由 ?有? 驻点：(5,6)和(1,?6)

?f?y?3x?9?0??2y?6x?18令0???y?2f?2f?2f?2?6x 2?2 ??6 ?x?x?y?y?(5,6)?6x?2?(?6)2(5,6)??12x?36?(5,6)?2f?24?0，而2?x?6x(5,6)?30

(5,6)∴f(x,y)在点(5,6)取得极小值f(5,6)??88 又∵?(1,?6)?6x?2?(?6)2(1,?6)??12x?36?(1,?6)??24?0

∴f(x,y)在点(1,?6)不取得极值

3、求z?x2?y2在闭区域x2?4y2?4上的最大值和最小值

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??z?2x?0???x解：由?，得唯一驻点(0,0)

?z???2y?0???yx2又∵在边界x?4y?4即椭圆?y2?1上,z?x2?y2?4?5y2 y?(?1,1)

422由

d(4?5y)?0，得驻点：y?0?(?1,1) dy∴所有可能的极值点为：(0,0) (2,0) (-2,0) （0,-1） (0,1) 相应的函数值为： 0 4 4 -1 -1 4、求抛物线y?x2和直线x?y?2?0之间的最短距离。

解：设P(x,y)为抛物线y?x2上任意一点，它到直线x?y?2?0的距离为

d?x?y?22，d最小当且仅当d2最小

1(x?y?2)2在条件y2?x下的最小值。 2解法1（用拉格朗日乘数法） 此问题即是求d2?设L?1(x?y?2)2??(y?x2) 21?L??x2?2(x?y?2)?1?2x?令0?(1?2?)x?y?2?0?111??由?Ly??2(x?y?2)?(?1)??令0，即???x?y?2?0得唯一驻点(,)

242?y?x2?0???L??y?x2令0??故由实际问题知抛物线y?x2和直线x?y?2?0之间的最短距离在在，为：

dmin?d(1,1)?2472 8解法2（转化为无条件极值）

设抛物线y?x2上点P(x,x2)，它到直线x?y?2?0的距离为

d?x?y?22?x?x2?22

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1∵d最小当且仅当d2?(x?x2?2)2最小

21设f(x)?(x?x2?2)2

2∴f?(x)?(x?x2?2)?(1?2x)令0 ?唯一驻点x?1 2f??(x)?(1?2x)?(1?2x)?(x?x2?2)?(?2)?(1?2x)2?2(x2?x?2)

1?f??()?(1?2x)2?2(x2?x?2)2??12?7?0 2∴当x?1时，f(x)有极小值，从而该极小值就是所求的最小值（∵唯一驻点） 2x?x2?2212∵d1?2=

72 8故抛物线y?x2和直线x?y?2?0之间的最短距离为

72 85、求抛物线z?x2?y2被平面x?y?z?1截成一椭圆，求原点到此椭圆的最长与最短距离。

解：设椭圆上任意一点为(x,y,z)，它到原点的距离为d?x2?y2?z2

?z?x2?y2此问题即是求d?x?y?z在条件?下的最大值和最小值。

x?y?z?1?222令L?x?y?z??(x?y?z)??(x?y?z?1)

?L?2x?2?x??令0?x?Ly?2y?2?y??令0??由?Lz?2z????令0?22?L??x?y?z令0?L?x?y?z?1令0???①②③ ④⑤22222由①-②得2(1??)(x?y)?0 若???1代入①，得??0，

1再代入④，?z??<0, 不合题意

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