微积分下 第二版 课后习题答案 同济大学(3)

T1(,2,1)21?(1?t)?1?tt?(t?1)1?{x'(1),y'(1),z'(1)}?{,,2t}?{,?1,2} 22(1?t)t4t?1x?12y?2z?1x?12y?2z?1??，即: ??14?121?48故所求切线方程为：

11法平面方程为：(x?)?(y?2)?2(z?1)?0 即: 2x?8y?16z?1

422、求下列空间曲线在指定点处的切线和法平面方程

22??x?y?2（1）?2 在点(1,1,1) 2??y?z?2解 ：将方程两端对x求导，得

x?dydy???2x?2y?0??y??dxdx ? 在M(1,1,1)处T?(1,?1,1) ???2ydy?2zdz?0?dz?x??dx?dx?dxz故所求的切线方程为：x?1?法平面方程：x?y?z?1

y?1?z?1 ?1?x2?y2?z2?6（2）? 在点(1,?2,1)

?x?y?z?0解法1：将方程两端对x求导，得

dydzdz??dy2x?2y??2z??0y??z???x????dxdxdxdx?? ??1?dy?dz?0?dy?dz??1???dxdx?dxdx当J?yz11?y?x?0时，有

dy1?xzz?xdz1y?xx?y，?? ????dxJ?11y?zdxJ1?1y?z?T?z?xx?y??dydz???1,,???1,,?{1,0,?1} ??dxdx?(1,?2,1)?y?zy?z?(1,?2,1)(1,?2,1)?x?1z?1??故所求的切线方程为：??11

??y?2?0 11

法平面方程：?(x?1)?0?(y?2)?(z?1)?0 即：x?z?0

?2xdx?2ydy?2zdz?0解法2：将方程组两端求微分：得?

?dx?dy?dz?0∴曲线在点(1,?2,1)处的切向量为

3. （题略）

y11'''-z, Fx(P0)??,Fy(P0)?,Fz(P0)= -1，曲面在点x2211??P0的切平面方程为：-(x?1)?(y?1)?(?1)(z?)?0，即： x - y - 2z -=0；

2242解：（1）令 F（x，y，z）=arctg

x?1y?14，即：x?1?y?1???111?1?1?22x（2）令F(x,y,z)?z?y?ln

z11则Fx??，Fy??1，Fz?1?

xz法线方程为：

z??z?2?4 ；

曲面在点(1,1,1)点处的切平面的法向量为：n?{?1,?1,?2}

故所求的切平面方程为：(?1)?(x?1)?(?1)?(y?1)?2(z?1)?0即： x?y?2z?0 法线方程为：

（3）令F（x，y，z）=2+2-8，Fx(P0)?4ln2,Fy(P0)??4ln2,Fz(P0)=-

16ln2，曲面在点P0的切平面方程为：4ln2（x-2）-4ln2（y-2）-16ln2（z-1）=0，