河南中考探究题2015年05.30(5)

21.如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，

D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．

①求证：BD⊥CF； ②当AB=4，AD=

时，求线段FG的长．

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22.在Rt△ABC中，AB=BC=4，∠B=90°，将一直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别与边AB、BC或其延长线上交于D、E两点（假设三角板的两直角边足够长），如图（1）、图（2）表示三角板旋转过程中的两种情形．

（1）直角三角板绕点P旋转过程中，当BE=______时，△PEC是等腰三角形； （2）直角三角板绕点P旋转到图（1）的情形时，求证：PD=PE；

（3）如图（3），若将直角三角板的直角顶点放在斜边AC的点M处，设AM：MC=m：n（m、n为正数），试判断MD、ME的数量关系，并说明理由．

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23.（1）问题探究

数学课上，李老师给出以下命题，要求加以证明．

如图1，在△ABC中，M为BC的中点，且MA=BC，求证∠BAC=90°．

同学们经过思考、讨论、交流，得到以下证明思路： 思路一 直接利用等腰三角形性质和三角形内角和定理…

思路二 延长AM到D使DM=MA，连接DB，DC，利用矩形的知识… 思路三 以BC为直径作圆，利用圆的知识… 思路四…

请选择一种方法写出完整的证明过程；

（2）结论应用李老师要求同学们很好地理解（1）中命题的条件和结论，并直接运用（1）命题的结论完成以下两道题：

①如图2，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A，C，点D在⊙O上，且∠DAB=30°，OA=a，OB=2a，求证：直线BD是⊙O的切线；

②如图3，△ABC中，M为BC的中点，BD⊥AC于D，E在AB边上，且EM=DM，连接DE，CE，如果∠A=60°，请求出△ADE与△ABC面积的比值．

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24.如图,矩形ABCD中,AB=3,AD=4,E为AB上一点,AE=1,M为射线AD上一动点,AM=a(a为大于0的常数),直线EM与CD直线交于点F,过点M作MG垂直EM,交直线BC于G. （1）若M为边AD中点,求证:△EFG是等腰三角形; （2）若点G与点C重合,求线段MG的长;

（3）请用含a的代数式表示三角形EFG的面积,并指出S的最小整数值.

25.（10分）如图①，正方形AEFG的边长为1，正方形ABCD的边长为3，且点F在AD上. （1）求SDBF；

DBF（2）把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的S（3）把正方形AEFG绕点A旋转一周，在旋转的过程中，S接写出最大值 ，最小值 . DBF；

存在最大值与最小值，请直

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25、如图，在锐角三角形纸片ABC中，AC＞BC，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上． （1）已知：DE∥AC，DF∥BC． ①判断 四边形DECF一定是什么形状？

②裁剪 当AC=24cm，BC=20cm，∠ACB=45°时，请你探索：如何剪四边形DECF，能使它的面积最大，并证明你的结论；

（2）折叠 请你只用两次折叠，确定四边形的顶点D，E，C，F，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由．

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