河南中考探究题2015年05.30(4)

16.分别以?ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF．

（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF与EF的关系（只写结论，不需证明）；

（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．

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17.在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到

△A1BC1．

（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求?CC1A1的度数； （2）如图2，连接AA1，CC1，若△A1AB的面积为4，求△CBC1的面积；

（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．

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18.课程学习：正方形折纸中的数学．

动手操作：如图1，四边形ABCD是一张正方形纸片，先将正方形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为EF，把这个正方形展平，然后沿直线CG折叠，使B点落在EF上，对应点为B′． 数学思考：（1）求∠CB′F的度数；（2）如图2，在图1的基础上，连接AB′，试判断∠B′AE与∠GCB′的大小关系，并说明理由； 解决问题：

（3）如图3，按以下步骤进行操作：

第一步：先将正方形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为EF，把这个正方形展平，然后继续对折，使AB与DC重合，折痕为MN，再把这个正方形展平，设EF和MN相交于点O； 第二步：沿直线CG折叠，使B点落在EF上，对应点为B′，再沿直线AH折叠，使D点落在EF上，对应点为D′；

第三步：设CG、AH分别与MN相交于点P、Q，连接B′P、PD′、D′Q、QB′，试判断四边形B′PD′Q的形状，并证明你的结论

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19.已知,点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A,B重合）,分别过A,B向直

线CP作垂线,垂足分别为E,F,Q为斜边AB的中点．

（1）如图1,当点P与点Q重合时,AE与BF的位置关系是________,QE与QF的数量关系式________；

（2）如图2,当点P在线段AB上不与点Q重合时,试判断QE与QF的数量关系,并给予证明；

（3）如图3,当点P在线段BA（或AB）的延长线上时,此时（2）中的结论是否成立?请画出图形并给予证明．

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20.通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的。下面是一个案例，请补充完整。

原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由。 （1）思路梳理 ∵AB=CD，

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合。 ∵∠ADC=∠B=90°，

∴∠FDG=180°，点F、D、G共线。

根据 ，易证△AFG≌ ，得EF=BE+DF。 （2）类比引申

如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°。若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系 时，仍有EF=BE+DF。 （3）联想拓展

如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°。猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程。

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