量子力学讲义第三章讲义(3)

综合上述讨论可得如下结论：既然厄米算符本征函数总可以取为正交归一化的，所以以后凡是提到厄米算符的本征函数时，都是正交归一化的，即组成正交归一系。 五、实例

（1）动量本征函数组成正交归一系

*?(r)?(r)dr??(p?p?) ?p ?p????当p?p?时，???????*?p?????(r)?p(r)dr?0

?与??相互正交。这是所有厄密算符的本征函数所共有的。 即属于动量算符不同本征值的两个本征函数?p?p（2）线性谐振子能量本征函数组成正交归一系 线性谐振子的能量本征函数 ?n?Nne1??2x22Hn(?x)

组成正交归一系：

????*?n?n?dx??nn?

（3）角动量本征函数组成正交归一系 1. lz 本征函数

角动量算符l?z的本征函数 ?m(?)?组成正交归一系：

1im?e (m?0,?1,?2,?) 2?*?m(?)?m?(?)d???mm? (7)

?2?0?本征函数 2. l2?属于本征值l(l?1)?的本征函数Y 角动量平方算符llm22 Ylm(?,?)?NlmPlm(cos?)eim?

???? (7)和(8)可合写为 ??Y组成正交归一系：

00?2?*Ylm(?,?)Yl?m(?,?)sin?d?d???ll? (8)

200*lm(?,?)Yl?m?(?,?)sin?d?d???ll??mm? (9)

§3.4 算符与力学量的关系

一、力学量的可能值及其几率

有两点问题：

①. 测得每个本征值An的几率是多少？

②. 是否会出现各次测量都得到同一个本征值，即有确定值。 1、 力学量算符本征函数组成完备系 (1)、函数的完备性

有一组函数?n(x) (n=1,2,...)，如果任意函数? (x)可以按这组函数展开：??则称这组函数?n(x)是完备的。 (2)、力学量算符的本征函数组成完备系

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?a?nnn

若力学量算符?

???A? Annn则任意函数? (x)可按?n(x)展开： ???a?nnn

量子力学认为：一切力学量算符的本征函数都组成完备系。 2、力学量的可能值和相应几率

???A? n?1,2,? Annn由于?n(x)组成完备系，所以体系任一状态? (x)可按其展开： ???a?nnn

展开系数an与x无关。

*an???n(x)?(x)dx（证明）

|an|2具有几率的意义，an称为几率振幅。我们知道|? (x)|2表示在x点找到粒子的几率密度，| c(p)|2表示粒子具有动量p的几率，那末同样，|an|2则表示A取An的几率。

讨论： ? (x)是坐标空间的波函数； c(p)是动量空间的波函数；则{an}则是A空间的波函数，三者完全等价。|? (x)|2表示在x点找到粒子的几率密度，| c(p)|2表示粒子具有动量p的几率，那末同样，|an|2则表示A取An的几率。

证明：当? (x)已归一时，c(p)也是归一的，同样an也是归一的。（证明）

量子力学基本假定：任何力学量算符A的本征函数?n(x)组成正交归一完备系，在任意已归一态? (x)中测量力学量A得到本征值An的几率等于? (x)按?n(x)展开式： ???a?nnn

中对应本征函数?n(x)前的系数an的|an|2。

分析：(1)、根据态迭加原理，由(1) ?1? |a1|2 ?2? |a2|2 ?? ?n? |a n |2 (2)、根据前面的假设 ?1? A1 ?2? A2 ?? ?n? An (3)、A1? |a1|2 A2? |a2|2 ?? An? |a n |2 3、力学量有确定值的条件

推论：当体系处于? (x) 态时，测量力学量A具有确定值的充要条件是? (x)必须是算符?的一个本征态。 二、力学量的平均值

在任一态? (x)中测量某力学量A的平均值可写为： A??anAn

n2*??(x)dx。（证明） 此式等价于以前的平均值公式A??(x)A?这两种求平均值的公式都要求波函数是已归一化的

如果波函数未归一化,则

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?a A??annn2An2，A?*??(x)dx??(x)An??*(x)?(x)dx

三、连续谱的情况

分立谱 连续谱

** ?m?nd???mn ?????d???(????)

?? ???a?nnn ??a???d?

?** an??n?d? a?????d?

?? An： ?n?an ?~??d?，?(?)d??a?d? A?22?Anan A???a?d?

n22*??d? A??A?例1、设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，若其状态由波函数??子能量的可能取值和相应的几率及其平均值。

解：?? a1?4asin?xacos2?xa描述，求粒

4asin?xacos2?xa?1[?1(x)??3(x)] 211，a3?，an?0（n?1,3） 222n?an?1

9?2?2 E的可能取值：E1? E3?

2ma22ma21122 相应几率： ?1?a1? ?3?a3?

22 注意：

?2?2?an?1

n2 E??Ennan21?2?219?2?25?2?2???? ? 22ma222ma22ma2例2：线性谐振子在初始时刻处于下面归一化状态：

?(x,0)?11?0??2?a5?5 52式中?n(x)表示谐振子第n个定态波函数，求 (1) 系数a5=？

(2) 写出t时刻的波函数；

(3) t=0时刻谐振子能量的可能取值及其相应几率，并求其平均值； (4) t= t时刻谐振子能量的可能取值及其相应几率，并求其平均值；

解： （1）a5?

3 1013

??t??t??t11322（2）?(x,t)??0e??2e??5e2

5210i5i11i（3）t=0时， a0?113，a2?，a5? 52101511??，E2???，E5??? 222113222相应几率?：?0?a0?，?2?a2?，?5?a5?

52102 E??Enan?3??

能量E可能值：E0?n（4）t= t时刻谐振子能量的可能值、相应几率、平均值与t=0时刻相同。

§3.5 共同本征函数

一、两力学量同时有确定值的条件

当在?态中测量力学量A和B时，如果同时具有确定值，那么?必是二力学量共同本征函数。 二、两算符对易的物理含义

定理：若两个力学量算符有一组共同完备的本征函数系，则二算符对易。（证明）

逆定理：如果两个力学量算符对易，则此二算符有组成完备系的共同的本征函数。（仅考虑非简并情况）（证明）

定理：一组力学量算符具有共同完备本征函数系的充要条件是这组算符两两对易。

?x,p?y,p?z两两对易， 例 1：动量算符：p??(r)?共同完备本征函数系：?p同量有确定值：px,py,pz

??p?r1e? 3/2(2??)i?2l??z,l?，l?相互对易 例2：定轴转子：Hzz2I1im?e 共同完备本征函数系：?m(?)?2?m2?2,m? ，m? (m?0,?1,?) 同量有确定值：Em?2Il?2?2??2??例 3：定间转子：H?,l,lz，l，lz两两对易 2I共同完备本征函数系：Ylm(?,?) (l?0,1,?;m?0,?1,?,?l)

l(l?1)?2,l(l?1)?2,m? ，l(l?1)?2，m? 同量有确定值：Em?2I小结：两个力学量同时有确定值的条件

?,B?]?0 (1)、[A(2)、体系恰好处在其共同本征态上。

三、力学量完全集合

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1、定义：为完全确定状态所需要的一 …… 此处隐藏：2556字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……