量子力学讲义第三章讲义

第三章 力学量用算符表达

§3.1 算符的运算规则

一、算符的定义：

算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。

??v Au表示?把函数u变成 v， ?就是这种变换的算符。

为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。

二、算符的一般特性 1、线性算符

满足如下运算规律的算符?，称为线性算符

?(c??c?)?cA??? A11221?1?c2A2其中c1, c2是任意复常数，?1, ?2是任意两个波函数。

????i??， 例如：动量算符p单位算符I是线性算符。 2、算符相等

?对体系的任何波函数?的运算结果都相同，即A?相等记为???B??，则算符?和算符B若两个算符?、B??B?。 A3、算符之和

??B?称为算符之?对体系的任何波函数?有：(A??C??B???B??，则A?)??A???C若两个算符?、B和。

??B?，A??B??A??(B?)?(A??B? ??C?)?C A4、算符之积

??，定义为 ?之积，记为AB 算符?与B??)??A?(B?? ??)?C(AB???BA??。 ?是任意波函数。一般来说算符之积不满足交换律，即AB5、对易关系

???BA??，则称?与B?不对易。 若AB?B?，则称?与B??B?A?对易。 若A????BA?和B??， 则称A?反对易。 若算符满足AB?x??i?例如：算符x, p?不对易 ?x1

?x??x(?i?证明：(1) xp??)???i?x? ?x?x?xx??(?i?(2) p??)x???i???i?x? ?x?x显然二者结果不相等，所以：

?x?p?xx xp?x?p?xx)??i?? (xp因为?是体系的任意波函数，所以

?x?p?xx?i? 对易关系 xp同理可证其它坐标算符与共轭动量满足

?z?p?zz?i? ?y?p?yy?i?，zp yp但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。

?y?p?yx?0?yp?x?p?xz?0?x?p?xy?0??xp?zp ?，?，?

????zp?pz?0yp?py?0???yz?xpz?pzx?0?z?y?zp?x?p?xp?z?0 ?yp?z?p?zp?y?0，p?xp?y?p?yp?x?0，p p???yx???0，p?zp?x?p?xp?z?0 ?yp?z?p?zp?y?0，p xy写成通式(概括起来)：

???p??x??i???? (1) x?p??x???x??x???0 x??p???p??p???0 其中?,??x,y,z或1,2,3 p量子力学中最基本的对易关系。

?对易，B?与?对易，不能推知?与?对易与否。 注意：当?与B6、对易括号(对易式)

为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号：

?,B???BA?]?AB?? [A这样一来，坐标和动量的对易关系可改写成如下形式：

??]?i???? [x?,p不难证明对易括号满足下列代数恒等式：

?,B?] ?]??[B?,A1) [A?,B?]?[A?,B?,C?] ??C?]?[A2) [A?,kB?,B?,BC?,C?]?[A?,B? ，[AB??,C?]?A?[B?]?[A?,C?]B?]?k[A?] ??]?B?[A?]C?,C?，[A3) [A?,[B?]]?[B?,A?]]?[C?,[A?,B?,C?,[C?]]?0 ——称为 Jacobi 恒等式。 4) [A

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角动量的对易式：

(1)在直角坐标系中角动量算符的对易关系

???i?r???l?e?l?e?l?e 角动量算符l?r?pxxyyzz?????????l?在直角坐标中的三个分量可表示为

??yp?z?zp?y??i?(y lx??zp?x?xp?z??i?(z ly???z) ?z?y???x) ?x?z??xp?y?yp?x??i?(x lz???y) ?y?x[l?x,l?y]?i?l?z，[l?y,l?z]?i?l?x，[l?z,l?x]?i?l?y （要求会证明）

?l?l?i?l

?????????l??l??i?l? 是角动量算符的定义式。

?,l?]?i??l? [l??????式中????称淡Levi-Civita符号，是一个三阶反对称张量，定义如下：

????????????????? ?

??123?1其中?,??x,y,z或1,2,3

?]?i??x或 [l?,x]?i??x ?,??x,y,z 证明：[x?,l?????????????,l??]?i?????p?? 或 [l??? [p?,p?]?i?????p?

??[l?,l?2]?0

(2)在球坐标系中角动量算符的对易关系

??i?(sin? lx???ctg?cos?) ???????ctg?sin?) ???????i?(cos? ly???i? lz??2? ??2 l???[1??1?(sin?)?2]

sin?????sin????????lx,ly,lz和l2只与?,? 有关，与r 无关，而且l?z只与? 有关。

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?2?2?2 ?? ???x2?y2?z221?2?1??1?2 ?2 (r)?2(sin?)?222?rrsin?????r?rrsin??????2?222??ppll2rr或 ???2?22??2?22

??r??r?r?其中p??11?2??r2???22?r可称为径向动量算符。 (?),p(r)，pi?rr?rr?r (3)角动量升降阶算符 (I) 定义

l???l?x?il?y，l???l?x?il?y

显然有如下性质

l????l??， l????l??

这两个算符不是厄密算符。 (II) 对易关系

??????2?22?????????[lz,l?]???l?， [l,l?]?0，l?l??l?lz??lz，l?l??l2?l?z2??l?z

7、逆算符

??1??? (1). 定义: 设??=?, 能够唯一的解出?， 则可定义算符?之逆?-1为: A (2).性质I: 若算符?之逆?-1存在，则

???1?A??1A??I, AA?,A??1]?0 [A?均存在逆算符, 则 (3).性质II: 若?,B??)?1?B??1 ??1A(AB8、算符函数

设给定一函数F(x)，其各阶导数均存在，其幂级数展开收敛

F(n)(0)nF(x)??x

n!n?0?则可定义算符?的函数F(?)为:

(n)F(0)?n?)?F(AA ?n!n?0?补充：定义一个量子体系的任意两个波函数(态) ?与?的“标积”

* (?,?)?d???

??d?是指对体系的全部空间坐标进行积分，d?是坐标空间体积元。例如

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对于一维粒子：d?? 对于三维粒子：d??可以证明

?????dx

??????dxdydz

???(?,?)?0?*?(?,?)?(?,?) ?

(?,c??c?)?c(?,?)?c(?,?)11221122??(c??c?,?)?c*(?,?)?c*(?,?)?112211229、转置算符

?定义为 算符?的转置算符A*?*???d??Ad??A????

???)?(?*,A??*) 即 (?,A式中?和?是两个任意波函数。

??????（证明） 例如：?x?x??x??p?x p????? ??)?BA可以证明：(AB10、复共轭算符

算符?的复共轭算符?*就是把?表达式中的所有量换成其复共轭。 但应注意，算符?的表达式与表象有关。 11、厄米共轭算符

算符?之厄米共轭算符?+定义为：

*????)*? 或 (?,A???)?(A??,?) ??d?(A d??A??厄密共轭算符亦可写成：

????A?* A??)??B?? ??A可以证明: (AB????)???C??B?? ??A (ABC12、厄米算符 (自共轭算符)

(1). 定义： 满足下列关系的算符称为厄米算符.

*???)*? (?,A??)?(A??,?) ??d?(A d??A?????A? 或 A(2). 性质

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