量子力学讲义第三章讲义(2)

性质 I：两个厄密算符之和仍是厄密算符。

性质 II：两个厄密算符之积一般不是厄密算符, 除非二算符对易。 三、算符的本征方程

如果算符?作用于函数?的结果，等于某一常数?乘以?，即

????? (2) A那么称?为算符?的本征值，?为算符?的属于本征值?的本征函数。方程(2)称为算符?的本征方程。

§3.2 动量算符和角动量算符

一、动量算符

???i?? p1、动量算符的厄密性（证明）

2、动量算符本征方程

????????????(r?(r)?p?(r) p，即?i????)?p?(r)pppp采用分离变量法，令：

?(r)??(x)?p?(y)?(z)

?代入动量本征方程

?(r)?p?(r) ?i???p?p?(r)??(x)??p?(y)?(z)

????????(r)，这正是p可取任意实数值，即动量算符的本征值p组成连续谱，相应的本征函数为(1)式所表示的?p自由粒子的de Broglie波的空间部分波函数。 (2).归一化系数的确定 ①、归一化为 ? 函数 取c?(2??)

?3/2??px(x)?py(y)?pz(z)?c1eipxx?c2eipyy?c3eipzz??cei??p?r? (1)

?(r)归一化为?函数， ，则?p???????(r)d???(p?p?) (2) ?*?pp?(r)??????(r)??p??p?r1e? （3） 3/2(2??)i?一维情况：?px(r)?12??eipxx?

②、箱归一化——P70-72（略去不讲）

箱归一化方法仅对平面波适用，而归一化为?函数方法对任何连续谱都适用。 二、角动量算符 1、角动量算符的形式

??????p???i?r??? l??r(1)、直角坐标系

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它在直角坐标系中的三个分量是：

???z) ?z?y????zp???xp??i?(z?x) lyxz?x?z????xp?? l?yp??i?(x?y) zyx?y?x??2?2?2?2?z?zp?y)2?(zp?x?xp?z)2?(xp?y?yp?x)2 角动量平方算符l?lx?ly?lz?(yp??yp?z?zp?y??i?(y lx???2[(y (2)、球坐标

???????z)2?(z?x)2?(x?y)2] ?z?y?x?z?y?x??2???利用上述变换关系可以得到lx,ly,lz和l在球坐标中的表示式是

???ctg?cos?) ???????i?(cos???ctg?sin??) ly???????i?? lz???1??1??22(sin?)?2] l???[sin?????sin????????l,l,l和l2只与?,? 有关，与r 无关，而且l?只与? 有关。 ??i?(sin? lxxyzz2、l?z的本征值和本征函数

?l?z??i?

?? 为了求出l?z的本征值lz和本征函数?(?)，我们解下列本征方程：

??(?)?l?(?) lzz ?i???(?)?lz?(?) ?? ? l?z的本征值为：lz?m?,m?0,?1,?2,? 式中的m习惯上称为磁量子数。 相应本征函数：?m(?)?1im?e 2?角动量在空间的任何方向的投影都是量子化的，它的值只能是0,??, ?2?, ?，而不能是其他的值。

??3、l2的本征值和本征函数

?1??1??22(sin?)?2] l???[sin?????sin????2?? 设l2的本征值为l，本征函数为Y(?,?)，本征方程为

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?? l2Y?l2Y ??在球坐标系中，l2只与?, ?有关，所以Y?Y(?,?)，则

?21??1?22??[(sin?)?2]Y?lY (6) 2sin?????sin????22令l???，Y(?,?)??(?)?(?)，其中?(?)只是?的函数，?(?)只是?的函数，由(6)式可得 ???2 ?[sin?(sin?)?(?)?(?)?2?(?)?(?)]??sin2??(?)?(?)

??????sin?dd?1d2?令22 (sin?)??sin????m

?(?)d?d??d?2??? l2的本征值为l(l+1)?2，所属的本征函数为Ylm(?,?)，

l?0,1,2,?；m?0,?1,?,?l

Ylm(?,?) 正交归一条件为：

??0?2?0*Ylm(?,?)Yl?m?(?,?)sin?d?d???ll??mm?

说明：(1)、由上面结果可知l2的本征值为l(l+1)?2，所属的本征函数为Ylm(?,?)，

????22l Ylm(?,?)?l(l?1)?Ylm(?,?)， l?0,1,2,? m?0,?1,?2,?

显然，l2?l(l?1)?2只能取0,2?2,6?2,?,一系列离散值，由于l是表征角动量的大小，所以称l为角量子数。

?Y(?,?)?m?Y(?,?) (2)、lzlmlm??2?)是(l,lz的共同本征态

??Ylm(?,?)即是l2的本征函数，也是l?z的本征函数，其相应的本征值分别为l(l+1)?2，m?。即球谐函数Ylm(?,?)

(3)、我们把一个本征值只对应一个本征函数的情况称为非简并；把对应于一个本征值有一个以上本征函数

??的情况称为简并，把对应于同一本征值的本征函数的数目称为简并度。l2的本征值是(2l+1)度简并的。

(4)、通常把l?0,1,2,3,?的态，依次称为s,p,d,f,?态，而把处于这些态的粒子称为s,p,d,f,?粒子。 4、平面转子的能量本征值与本征态：

lz2 绕z轴转动的平面转子的能量经典表达式为E?，I为转动惯量，lz为角动量。

2I22?2l????z??H 22I2I???2?2能量本征方程表为 ???E?

2I??2m2?2?0 ? ?的本征值为：Em?2I1im?e，m?0,?1,?2,? 相应的本征函数为： ?m(?)?2?5、空间转子的能量本征值与本征态：

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l2 绕一固定点转动的空间转子的能量经典表达式为E?，I为转动惯量，l为角动量。

2I??2l?? H2Il(l?1)?2? ?的本征值为：El?

2I相应的本征函数为：Ylm(?,?)， l?0,1,2,?；m?0,?1,?2,?

?Y??l(l?1)?m(m?1)Y例：证明l ??(l?m)(l?m?1)Y?lml,m?1l,m?1例：证明在lz本征态Ylm下，lx?ly?0

§3.3 厄米算符的本征值与本征函数

一、厄米算符的平均值

定理I：体系任何状态?下，其厄米算符的平均值必为实数。（证明） 逆定理：在任何状态下，平均值均为实数的算符必为厄米算符。（证明） 推论：设?为厄米算符，则在任意态?之下

2*?2??)*A???0 ??d?(A A?d??A??二、厄米算符的本征方程 1、涨落

??A)2 涨落定义为(?A)2?(A??A)?0 证明(?A)2?(A2、力学量的本征方程

2若体系处于一种特殊状态，在此状态下测量A所得结果是唯一确定的，即：

(?A)2?0

则称这种状态为力学量A的本征态。

??A)??0 或 A???常数?? (A可把常数记为An，把状态记为?n，于是得：

???A? (1) Annn其中An,?n分别称为算符?的本征值和相应的本征态，式(1)即算符?的本征方程。 定理II：厄米算符的本征值必为实。（证明） 三、量子力学中的力学量用线性厄米算符表示 1、表示力学量的算符必为线性算符； 2、表示力学量的算符必为厄密算符。

?例2：?例1：

?????*x?dx??(x?)*?dx （?x为实数）

?x?dx??(p?x?)*?dx ?*p????????9

2?xp??V(x)为厄密算符 例3：证明H?2m综上所述：表示力学量的算符必为线性、厄密算符，线性厄密算符不一定是力学量算符。 3、力学量算符和力学量之间的关系

测量力学量A时所有可能出现的值，都对应于线性厄米算符?的本征值An（即测量值是本征值之一），该本征值由力学量算符?的本征方程

???A? n?1,2,? Annn当体系处于?的本征态?n时，则每次测量所得结果都是完 …… 此处隐藏：2236字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……