高中数学常用公式及常用结论2(4)

144．棱锥的平行截面的性质

如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．

145.欧拉定理(欧拉公式)

V?F?E?2(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).

（1）E=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n的多边形，则面数F与棱数E的关系：E?12nF；

12mV.

（2）若每个顶点引出的棱数为m，则顶点数V与棱数E的关系：E?146.球的半径是R，则 其体积V?43?R,

3其表面积S?4?R2． 147.球的组合体

(1)球与长方体的组合体:

长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:

正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:

棱长为a的正四面体的内切球的半径为148．柱体、锥体的体积

V柱体?V锥体?1313Sh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）. Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）.

612a,外接球的半径为64a.

149.分类计数原理（加法原理） N?m1?m2???mn. 150.分步计数原理（乘法原理） N?m1?m2???mn. 151.排列数公式

An=n(n?1)?(n?m?1)=

m.(n，m∈N*，且m?n)．

(n?m)！n！注:规定0!?1. 152.排列恒等式

mm?1(1）An?(n?m?1)An;

（2）An?

mnn?mAn?1;

m16

1（3）Anm?nAnm??; 1?1n（4）nAnn?Ann?; ?A1n（5）Anm?1?Anm?mAnm?1.

(6) 1!?2?2!?3?3!???n?n!?(n?1)!?1. 153.组合数公式

Cmn=

AnAmmm=

n(n?1)?(n?m?1)1?2???m=

(n∈N*，m?N，且m?n).

m！?(n?m)！n！154.组合数的两个性质 (1)Cnm=Cnn?m ; (2) Cnm+Cnm?1=Cnm?1. 注:规定Cn0?1. 155.组合恒等式 （1）Cn?（2）Cn?（3）Cnmmmn?m?1mnmCnm?1;

n?mnm?1?Cn?1; mCn?1;

n （4）?Cnr=2n;

r?0rrrrr?1（5）Cr?Cr?1?Cr?2???Cn?Cn?1. 012rnn(6)Cn?Cn?Cn???Cn???Cn?2. 135024n?1(7)Cn?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn??2. 123nn?1 (8)Cn?2Cn?3Cn???nCn?n2. r0r?110rrr(9)CmCn?CmCn???CmCn?Cm?n. 021222n2n(10)(Cn)?(Cn)?(Cn)???(Cn)?C2n.

156.排列数与组合数的关系

An?m！?Cn .

mm157．单条件排列

以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”

m?1mm?1①某（特）元必在某位有An?1种；②某（特）元不在某位有An?An?1（补集思想）

?An?1An?1（着眼位置）?An?1?Am?1An?1（着眼元素）种.

1m?1m1m?1（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）

km?k①定位紧贴：k(k?m?n)个元在固定位的排列有AkAn?k种.

②浮动紧贴：n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有An?k?1Ak种.注：此类问题常用捆绑法；

③插空：两组元素分别有k、h个（k?h?1），把它们合在一起来作全排列，k个的一

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n?k?1k组互不能挨近的所有排列数有AhhAhk?1种.

（3）两组元素各相同的插空

m个大球n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？ 当n?m?1时，无解；当n?m?1时，有

Am?1Annn?Cm?1种排法.

nn（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为Cm. ?n158．分配问题

（1）(平均分组有归属问题)将相异的m、n个物件等分给m个人，各得n件，其分配方

nnnnn法数共有N?Cmn?Cmn?n?Cmn?2n???C2n?Cn?(mn)!(n!)m.

（2）(平均分组无归属问题)将相异的m配方法数共有 N?Cmn?Cmn?n?Cmn?2n...?C2n?Cnm!nnnnn·n个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其分

?(mn)!m!(n!)m.

（3）(非平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n1，n2，?，nm件，且n1，n2，?，nm这m个数彼此不相等，则其

nnn分配方法数共有N?Cp?Cp?n...Cn?m!?12m1mp!m!n1!n2!...nm!.

（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n1，n2，?，nm件，且n1，n2，?，nm这m个数中分别有a、b、c、?个相等，则其分配方法数有N?mCp1?Cp2?n1...Cnm?m!nnna!b!c!... ?p!m!n1!n2!...nm!(a!b!c!...).

+n+?+n)个物体分为任意的n1，（5）(非平均分组无归属问题)将相异的P(P=n12mn2，?，nm件无记号的m堆，且n1，n2，?，nm这m个数彼此不相等，则其分配方法数

有N?p!n1!n2!...nm!.

（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分为任意的n1，

n2，?，nm件无记号的m堆，且n1，n2，?，nm这m个数中分别有a、b、c、?个相等，

p!n1!n2!...nm!(a!b!c!...)则其分配方法数有N?.

（7）(限定分组有归属问题)将相异的p（p?n1+n2+?+nm）个物体分给甲、乙、丙，??等m个人，物体必须被分完，如果指定甲得n1件，乙得n2件，丙得n3件，?时，则无论n1，

n2，?，nm等m个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有

mN?Cp1?Cp2?n1...Cnm?nnnp!n1!n2!...nm!.

159．“错位问题”及其推广

贝努利装错笺问题:信n封信与n个信封全部错位的组合数为

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f(n)?n![112!?3!?14!???(?1)n1n!].

推广: n个元素与n个位置,其中至少有m个元素错位的不同组合总数为 f(n,m)?n!?C1234m(n?1)!?Cm(n?2)!?Cm(n?3)!?Cm(n?4)!???(?1)pCp(n?p)!???(?1)mCm

mm(n?m)!234m?n![1?C1mA1?Cm?Cm?Cm?(?1)pCpm???(?1)mCmnA2nA2nA4??nApnAm].

n160．不定方程x1+x2+?+xn?m的解的个数

(1)方程xn?11+x2+?+xn?m（n,m?N?）的正整数解有C个. m?1(2) 方程xn?11+x2+?+xn?m（n,m?N?）的非负整数解有 C个.

n?m?1(3) 方程x1+x2+?+xn?m（n,m?N?）满足条件xi?k(k?N?,2?i?n?1)的非负整数解有Cn?1m?1?(n?2)(k?1)个.

(4) 方程x1+x2+?+xn?m（n,m?N?）满足条件xi?k(k?N?,2?i?n?1)的

正整数解有Cn?1?C1n?2n?2n?1n?m?1n?2Cn?1m?n?k?2?C2n?2Cn?1m?n?2k?3???(?1)Cn?2C个. m?1?(n?2)k161.二项式定理

(a?b)n?C0nna?C1?122rnanb?Cnan?2b???Cnan?rbr???Cnnnb ;

二项展开式的通项公式

Trn?rr?1?Crnab(r?0，1，2?，n).

162.等可能性事件的概率

P(A)?mn.

163.互斥事件A，B分别发生的概率的和

P(A＋B)=P(A)＋P(B)．

164.n个互斥事件分别发生的概率的和

P(A1＋A2＋?＋An)=P(A1)＋P(A2)＋?＋P(An)． 165.独立事件A，B同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B).

166.n个独立事件同时发生的概率

P(A1· A2·?· An)=P(A1)· P(A2)·?· P(An)． 167.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率

Pn(k)?Ckkn?knP(1?P).

168.离散型随机变量的分布列的两个性质 （1）Pi?0(i?1,2,?); （2）P1?P2???1.

169.数学期望

E??x1P1?x2P2???xnPn?? 170.数学期望的性质

（1）E(a??b)?aE(?)?b. （2）若?～B(n,p),则E??np.

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(3) 若?服从几何分布,且P(??k)?g(k,p)?qk?1p，则E?? …… 此处隐藏：2783字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……