05刚体的定轴转动习题解答解析(5)

度为v?，直杆绕端点O转动的角速度为? ，因此有

1mvL?mv?L?J??mv?L?(6m)L2?

3得到

v?v??2L? （1）

碰撞前后系统的机械能守恒，因此有

12111222mv?mv??J??mv??mL2222

由上式得到

v?v??2L?将（2）式和（1）式两边相除，得到

2222

（2）

v?v??L?

（3）

再由（3）式和（1）式解得

2v??3L

8. 如图所示，一长为L，质量为m的均匀细棒，一端悬挂在O点上，可绕水平轴在竖直面内无摩擦地转动，在同一悬挂点，有长为l的轻绳悬挂一小球，质量也为m，当小球悬线偏离铅垂方向某一角度由静止释放，小球在悬点正下方与静止细棒发生弹性碰撞。若碰撞后小球刚好静止，试求绳长l应为多少？ 解：在碰撞过程中，小球和棒都在垂直位置，因此系统受到的关于转轴O的合外力矩为零，因此系统在碰撞前后瞬间的角动量守恒。设碰撞后瞬间细棒绕转轴O转动的角速度为?，由角动量守恒，有

1mvl?mL? 32O l L m 计算题8图

另外由于没有摩擦和阻尼，因此系统在碰撞

期间的机械能也守恒。即小球的动能全部转化为棒的转动动能

121122mv?.mL?223

由以上两式解得

l?1L3

或解 设碰撞后小球的速率为v?，则由角动量守恒和机械能守恒，有

1mvl?mv′l?mL? 3212111222mv?mv′?mL?2223

3l2?L2v′?2v3l?L2求得

?0，则 令v′

解得

3l2?L?0l?1L3

9. 转台绕中心竖直轴以角速度???匀速转动，相对于转轴的转动惯量为J，现有质量为m的小钢球以每秒n个的速率垂直落入转台上半径为r的圆轨道内，求转台的角速度随时间的变化关系。

L?J?，解：由角动量守恒，初始时角动量为：

0t时刻系统的转动惯量和角动量为：

2J??J?ntmr；

所以角速度为：

L?J??

??J?0/(J?mntr2)

?

?????在一半径为R、质量为m?、可绕中心竖直轴自由转动的水平圆盘的边上，站着一个质量为m的人，求当人沿圆盘的边缘走完一周回到原有位置时，圆盘转过的角度为多大？

解：设人相对于圆盘的速率为v，圆盘转动的角速度为?。将人和转盘作为一个系统，在转动过程中沿转轴方向的外力矩为零，因此系统的角动量守恒。因此得到?

L?1m0R2??m(v??R)R?022mv???(m0?2m)R?

?

设人沿圆盘的边缘走完一周回到原有位置时所需时间为T，则圆盘转过的角度为?

?????dt?0TT2m?vdt0(m0?2m)R?2m?2πR4πm?(m0?2m)Rm0?2m?

或解：设圆盘和人相对于地面转动的角速

度大小为??和??，??与??的转动方向相反。则人相对于圆盘的转动角速度为?????。将人和转盘作为一个系统，在转动过程中沿转轴方向的外力矩为零，因此系统的角动量守恒

1m0R2?1?mR2?2?02?

?2?m0?12m

设人沿圆盘的边缘走完一周回到原有位置时所需时间为T，则有

?0(?1??2)dt?2π?

T将?2?m0?12m代入上式，得到圆盘相对于地面转动

T的角度?

????1dt?04πmm0?2m

11. 质量为5kg、半径为25cm的轮子，装在一根长为40cm的轻杆的中部，并可绕此杆转动，杆的一端A用一根链条挂起。开始时杆在水平位置，轮子的转动角速度为12 rad ? s–1，

方向如图所示，求：(1) 该轮子的自转角动量；（2） 作用于轴上的外力矩；(3) 系统的进动角速度，并判断进动方向。

解：(1) 自转角动量为：

L?J??12mr??0.5?5?0.252?12?1.875(kg?m2?s?2)2

计算题11图

(2) 外力矩为：

l0.4M?mg?5?9.8??9.8(kg?m2?s?2)22

(2) 进动角速度为：

?p?M?5.2rad?s?1L有外力矩自转角动量的方向可以判断，从上往下看，进动的方向为逆时针方向。