05刚体的定轴转动习题解答解析(4)

mr?Ja的方向沿斜面向下。 绳中张力为

JT?mgsin? 2mr?J

5. 如图所示，质量为m1的物体可在倾角

2a?mr2gsin?为? 的光滑斜面上滑动。m1的一边系有劲度系数为k的弹簧，另一边系有不可伸长的轻绳，绳绕过转动惯量为J，半径为r的小滑轮与质量为m2（?m1）的物体相连。

k θ 计算题5图

J

m1 m2

开始时用外力托住m2使弹簧保持原长，然后撤去外力，求m2由静止下落h距离时的速率及m2下降的最大距离。

解：在m2由静止下落h距离的过程中机械能守恒，因此有

111222m2gh?(m1?m2)v?J??kh?m1ghsin222

v??式中r，解得m由静止下落h距离

2

时的速率

v?2(m2?m1sin?)gh?kh2 m1?m2?J/r2m2下降到最低时，m1、m2速率为

零，代入上式，得到m2下降的最大距离

hmax2?(m2?m1sin?)g k6. 空心圆环可绕光滑的竖直固定轴AC 自由转动，转动惯量为J0，环的半径为R，初始时环的角速度为?0。质量为 m 的小球静止在环

内最高处A 点，由于某种微小干扰，小球沿环向下滑动，问小球滑到与环心O 在同一高度的B 点和环的最低处的C 点时，环的角速度及小球相对于环的速度各为多大?(设环的内壁和小球都是光滑的，小球可视为质点，环截面半径r<

解：选小球和环为系统．在转动过程中沿转轴方向的合外力矩为零，所以角动量守恒．对地球、小球和环系统机械能守恒。取过环心 O 的水平面为势能零点．

小球到B 点时，有：

J0?0?(J0?mR)?

211122222J0?0?mgR?J0??m(?R?vB222

其中vB表示小球在 B 点时相对于地面的竖直分速度，也就是它相对于环的速度。由以上两

式解出

??J0?0/(J0?mR)

2J0?RvB?2gR?2mR?J0

202计算题6

小球到C 点时，由角动量守恒定律，系统的角速度又回复至??0，而由机械能守恒，有：

12mvC?mg(2R) 2v?4gRC所以。

O m0 v m o 计算题7图

L

7. 质量为m0长为L的均匀直杆可绕过端点O的水平轴转动，一质量为m的质点以水平速度v与静止杆的下端发生碰撞，如图所示，若m0 = 6 m，求质点与杆分别作完全非弹性碰撞和完全弹性碰撞后杆的角速度大小。

解：（1）完全非弹性碰撞时，质点射入杆内，与杆一起转动。在此过程中质点和杆系统的角动量守恒，设系统绕端点O转动的角速度为? ，因此

1mvL?J??(m0L2?mL2)??(2mL2?mL2)?3

解出

v??3L

（2）完全弹性碰撞时，碰撞前后系统关于端点O的角动量守恒，设碰撞后质点的水平速