浙江省杭州市萧山区2017届九年级（上）期末数学试卷（解析版）(5)

结合图象，由题意，知：a﹣3＞﹣2， ∴a＞1，

∴a的取值范围为：a＞1；

②令y1=a﹣3，则x2﹣3=a﹣3 解得x=±

，

，

令y2=a﹣3，则（x﹣2）2﹣3=a﹣3，解得x=2±因为x1＜x2＜x3＜x4，显然x1=﹣

，x4=2+

，

∵a≠1，则a的取值范围是a＞0且a≠1， 当0＜a＜1时，∴x4﹣x3+x2﹣x1=4当a＞1时，∴x3=

＜2﹣＜4，

，

，∴x2=

，x3=2﹣

，

＞2﹣

，

，x2=2﹣

∴x4﹣x3+x2﹣x1=4，

综上所述，x4﹣x3+x2﹣x1的最大值为4．

23．如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=Rt∠，点P是线段BC延长线上任意一点，以AP为直角边作等腰直角△APD，且∠APD=Rt∠，连结BD （1）求证：

=

；

（2）在点P运动过程中，试问∠PBD的度数是否会变化？若不变，请求出它的度数，若变化，请说明它的变化趋势． （3）己知AB=

，设CP=x，S△PBD=S．

①试求S关于x的函数表达式． ②当S=时，求△BPD的外接圆半径．

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【考点】圆的综合题．

【分析】（1）设AD与PB交于点K．由△AKB∽△PKD，推出△AKP∽△BKD，推出∠ADB=∠APK，∠PAK=∠DBK=45°，推出∠ABD=∠∠DBK=90°，推出∠ABD=∠ACP，由∠ADB=∠APC，推出△ABD∽△ACP，即可解决问题．

（2）结论：∠PBD的度数是定值，∠PBD=45°．由（1）可知△AKP∽△BKD，即可推出PAK=∠DBK=45°． （3）①在Rt△ABC中，由AB==

PA=，推出BC=AC=1，在Rt△ACP中，

=

，推出

=

，可得BD=

x，

，由△ABD∽△ACP，推出

OP．根据S=S△ABD+S△APD﹣S△ABP计算即可．②取AD的中点O，连接OB、由∠ABD=∠APD=90°，推出OB=OA=OP=OD，推出点O是△PBD的外接圆的圆心，求出线段AD即可解决问题．

【解答】（1）证明：如图，设AD与PB交于点K． ∵CA=BC，∠ACB=90°， ∴∠ABC=45°，

∵PA=PD，∠APD=90°，

∴∠PDK=∠PAD=∠ABK=45°，∵∠AKB=∠DKP， ∴△AKB∽△PKD， ∴∴

==

，

，∵∠AKP=∠BKD，

∴△AKP∽△BKD，

∴∠ADB=∠APK，∠PAK=∠DBK=45°， ∴∠ABD=∠∠DBK=90°，

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∴∠ABD=∠ACP，∵∠ADB=∠APC， ∴△ABD∽△ACP， ∴

=；

（2）解：结论：∠PBD的度数是定值，∠PBD=45°． 理由：由（1）可知△AKP∽△BKD， ∴PAK=∠DBK=45°，

∴在点P运动过程中，∠PBD的度数是定值，∠PBD=45°

（3）解：①在Rt△ABC中，∵AB=∴BC=AC=1， 在Rt△ACP中，PA=∵△ABD∽△ACP， ∴∴

==

， ， x，

?=

，

，

∴BD=

∴S=S△ABD+S△APD﹣S△ABP=?

x﹣??

﹣（1+x）?1=x2+x．

②取AD的中点O，连接OB、OP． ∵∠ABD=∠APD=90°， ∴OB=OA=OP=OD，

∴点O是△PBD的外接圆的圆心， ∵S=， ∴x2+x=，

解得x=或﹣（舍弃）， ∴PC=，

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由（2）可知BD=∴BD=

，

x，

在Rt△ABD中，AD=∴OD=AD=

，

==，

∴△PBD的外接圆的半径为．

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2017年4月18日

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