《创新设计高考总复习》配套学案：定积分与微积分基本定理(4)

(2)求切线l，x轴及曲线f(x)＝4x－8所围成的封闭图形的面积S. 解 (1)由f(x)＝4x－8，∴f′(x)＝1

又点A(6,4)为切点，∴f′(6)＝2，

1

因此切线方程为y－4＝2(x－6)，即x－2y＋2＝0. (2)令f(x)＝0，则x＝2，即点C(2,0)．

在x－2y＋2＝0中，令y＝0，则x＝－2，∴点B(－2,0)． ?1?

故S＝?6－2?2x＋1?dx－?64x－8dx

????

2

1

. x－2

能力提升练——导数及其应用

(建议用时：90分钟)

一、选择题

1．(2014·襄阳调研)曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为 ( )． A．30° C．60°

B．45° D．120°

解析 由y′＝3x2－2得y′|x＝1＝1，即曲线在点(1,3)处的切线斜率为1，所以切线的倾斜角为45°. 答案 B

2．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为 A．(－1,1) C．(－∞，－1)

B．(－1，＋∞) D．(－∞，＋∞)

( )．

解析 设g(x)＝f(x)－2x－4，由已知g′(x)＝f′(x)－2>0，则g(x)在(－∞，＋∞)

上递增，又g(－1)＝f(－1)－2＝0，由g(x)＝f(x)－2x－4>0，知x>－1. 答案 B

3．定积分?1(ex＋2x)dx的值为

?0A．1 C．e

?

解析 ?1(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)?＝e.

?0?0答案 C

4．已知函数f(x)＝2ln x－xf′(1)，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程是 ( )． A．x－y＋2＝0 B．x＋y＋2＝0 C．x＋y－2＝0 D．x－y－2＝0

2

解析 易知f′(x)＝x－f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝2－f′(1)，∴f′(1)＝1，因此f(x)＝2ln x－x，∴f(1)＝－1，∴所求的切线方程为y＋1＝1·(x－1)，即x－y－2＝0. 答案 D

5．(2014·济南质检)若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于 A．2 C．6

解析 ∵f′(x)＝12x2－2ax－2b， Δ＝4a2＋96b＞0，又x＝1是极值点，

∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，即a＋b＝6，且a>0，b>0，

?a＋b?2

∴ab≤4＝9，当且仅当a＝b时“＝”成立，所以ab的最大值为9. 答案 D

6．(2014·青岛模拟)幂指函数y＝f(x)g(x)在求导数时，可以运用对数法：在函数解

B．3 D．9

( )．

1

B．e－1 D．e＋1

( )．

y′f′?x?

析式两边求对数得ln y＝g(x)ln f(x)，两边求导数得y＝g′(x)ln f(x)＋g(x)，

f?x?于是y′＝f(x)

g(x)

f′?x???

?g′?x?lnf?x?＋g?x??.运用此法可以探求得知·

f?x???

的一个

单调递增区间为 ( )．

A．(0，e) B．(2,3) C．(e,4) 解析 将函数

D．(3,8)

y′1111

2两边求对数得ln y＝xln x，两边求导数得y＝－xln x＋x·x

．令y′>0，即1－ln

11

2＝x(1－ln x)，所以y′＝y·x2(1－ln x)＝x>0，∴0

7．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)的图象是

( )．

解析 设h(x)＝f(x)ex，

则h′(x)＝(2ax＋b)ex＋(ax2＋bx＋c)ex＝(ax2＋2ax＋bx＋b＋c)ex. 由x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点． ∴c－a＝0，∴c＝a.∴f(x)＝ax2＋bx＋a.

a若方程ax2＋bx＋a＝0有两根x1，x2，则x1x2＝a＝1，D中图象一定不满足条件． 答案 D

8．物体A以v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在

物体A的正前方5 m处，同时以v＝10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后，物体A追上物体B所用的时间t(s)为 A．3 C．5

B．4 D．6

( )．

解析 因为物体A在t秒内行驶的路程为?t(3t2＋1)dt，物体B在t秒内行驶的路

?0?

程为?t10t dt，所以?t(3t2＋1－10t)dt＝(t3＋t－5t2)?＝t3＋t－5t2，∴t3＋t－5t2＝5，

?0?0?0(t－5)(t2＋1)＝0，即t＝5. 答案 C

9．(2014·广州模拟)已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝ln x＋x－2的零点为b，则下列不等式中成立的是 A．f(a)

B．f(a)

( )．

t

解析 由f′(x)＝ex＋1>0，知f(x)在R上是增函数， ∵f(0)＝1－2<0，f(1)＝e－1>0. ∴函数f(x)的零点a∈(0,1)． 1

由g′(x)＝x＋1>0(x>0)， 得g(x)在(0，＋∞)上单调递增． 又g(1)＝ln 1＋1－2<0，g(2)＝ln 2>0， ∴函数g(x)的零点b∈(1,2)，

从而0

exe2

10．(2013·辽宁卷)设函数f(x)满足xf′(x)＋2xf(x)＝x，f(2)＝8，则x>0时，

2

f(x)

A．有极大值，无极小值

( )．

B．有极小值，无极大值

C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值

x2

ex2f?x?e－2xf?x?

解析 由条件，得f′(x)＝x3－x＝. x3令g(x)＝ex－2x2f(x)，

则g′(x)＝ex－2x2f′(x)－4xf(x)

2?2exx?

＝e－2(xf′(x)＋2xf(x))＝e－x＝e?1－x?，

??

x

2

x

令g′(x)＝0，得x＝2.

当x>2时，g′(x)>0；当0

从而g(x)≥0，f′(x)＝x3>0，

∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极大(小)值． 答案 D 二、填空题

11．若曲线f(x)＝ax2＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是______． 11解析 依题意得，f′(x)＝2ax＋x＝0(x>0)有实根，所以a＝－2x2<0. 答案 (－∞，0)

12．若曲线y＝2x－x3在横坐标为－1的点处的切线为l，则点P(3,2)到直线l的 距离为________．

解析 由题意得切点坐标为(－1，－1)，切线斜率为k＝y′|x＝－1＝2－3x2|x＝－1＝2－3×(－1)2＝－1.

故切线l的方程为y－(－1)＝－[x－(－1)]， 整理得x＋y＋2＝0.

|3＋2＋2|72

∴点P(3,2)到直线l的距离为＝2.

221＋1