《创新设计高考总复习》配套学案：定积分与微积分基本定理(2)

k3134?k213??

?2x－3x??＝－k＝，即k3＝8，∴k＝2.

233???0答案 (1)B (2)2

规律方法 利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．

求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正．

【训练2】 (1)设a>0，若曲线y＝x与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.

1

(2)曲线y＝x，y＝2－x，y＝－3x所围成图形的面积为________． 解析 (1)S＝?a

?0

23?234xdx＝x2 ?＝a2＝a2，∴a＝.

339?0

?y＝x，

(2)由?

?y＝2－x，

y＝2－x，??

得交点A(1,1)；由? 1

y＝－3x，??得交点B(3，－1)． 故所求面积

1?1???

S＝?1?x＋3x?dx＋?3?2－x＋3x?dx

???0??1?

1??21412???23?

＝ ?x2?x? ?＋?2x－3x2??＝3＋6＋3

???16??0?313

＝6.

1

a

k

3

413

答案 (1)9 (2)6 考点三 定积分在物理中的应用

【例3】 (2013·湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋

25

(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽1＋t

车继续行驶的距离(单位：m)是( )． 11

A．1＋25ln 5 B．8＋25ln 3 C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2

8

解析 令v(t)＝0，得t＝4或t＝－3(舍去)， 25??

7－3t＋?dt ∴汽车行驶距离s＝??

1＋t?0??

4

3?

＝[7t－2t2＋25ln(1＋t)]?

?0＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5. 答案 C

学生用书第47页 4

规律方法 (1)利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式．

(2)定积分在物理方面的应用中要注意各种具体问题中含有的物理意义．防止实际问题的物理意义不明确，导致把物理问题转化为定积分时出现错误． 【训练3】 设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且方向和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为________J(x的单位：m，力的单位：N)． 解析 由题意知变力F(x)对质点M所做的功为

?13??

??＝??3x＋x??1＝342.

答案 342

1．求定积分常用的方法 (1)利用微积分基本定理．

(2)运用定积分的几何意义(曲边梯形面积易求时)转化为求曲边梯形的面积． 2．定积分计算应注意的问题+

(1)利用微积分基本定理，关键是准确求出被积函数 的原函数，熟练掌握导数公式及求导法则，求导与积分互为逆运算． (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限．

(3)面积非负，而定积分的结果可以为负．利用定积分求平面图形的面积时一定要准确转化，当图形的边界不同时，一定注意分情况讨论．

易错辨析4——对定积分的几何意义理解不到位致误

【典例】 (2011·课标全国卷)由曲线y＝x，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为( )． 10

A.3 16C.3

???y＝x，?x＝4，

[错解] 由?得?

???y＝x－2，?y＝2，∴y＝x与直线y＝x－2的交点为(4,2)， 于是，围成图形的面积是 S＝?4[x－(x－2)]dx－?4(x－2)dx

?0?2

B．4 D．6

10

＝

??1???1???－?2x2－2x??－?2x2－2x??

???0???2?0

4

4

4

1610

＝3－2＝3. [答案] A

[错因] (1)不理解定积分的几何意义，导致不能将封闭图形的面积正确地用定积分表示．

(2)求错原函数，导致计算错误．

[正解] 作出曲线y＝x，直线y＝x－2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．

??y＝x，由?得交点A(4,2)． ??y＝x－2

因此y＝x与y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为

44

?[x－(x－2)]dx＝?(x－x＋2)dx ?0?0

211612?23??

＝ ?x2?x?2x??＝3×8－2×16＋2×4＝3. 2?3??0[答案] C

[防范措施] (1)准确画出图形是正确用定积分表示面积的前提．

(2)利用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数互为逆运算，因此应注意掌握一些常见函数的导数． 【自主体验】

1

曲线y＝x与直线y＝x，x＝2所围成的图形的面积为________．

1

解析 作出曲线y＝x，直线y＝x和x＝2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部

4

分的面积．

?y＝1

x，

由??y＝x

2

1

得交点(1,1)．因此y＝x与y＝x及x＝2所围成的图形的面积为

S＝?xdx－?xdx ?1?112??＝2x?－ln x?

?1?1

33

＝2－(ln 2－ln 1)＝2－ln 2. 3

答案 2－ln 2

基础巩固题组 (建议用时：40分钟)

一、选择题 1.?1(ex＋2x)dx等于 ?0A．1 C．e

?1

解析 ?(e＋2x)dx＝(e＋x)?

?0?0

x

x

2

1

2

21

2

B．e－1 D．e＋1

( )．

＝(e1＋12)－(e0＋02)＝e. 答案 C

ππ

2．(2014·济南质检)由直线x＝－3，x＝3，y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图 形的面积为

( )．