《创新设计高考总复习》配套学案：定积分与微积分基本定理

第13讲 定积分与微积分基本定理

[最新考纲]

1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2．了解微积分基本定理的含义.

知 识 梳 理

1．定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义

如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式

nb－a

?f(ξi)Δx＝? nf(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数i＝1i＝1

b－a

? ni＝1

n

n

叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作?f(x)dx，即?f(x)dx＝

?a?af(ξi)．

(2)定积分的几何意义

bb

①当f(x)≥0时，定积分?bf(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝

?af(x)所围成的曲边梯形的面积．(图1)

②当f(x)在区间[a，b]上有正有负时，如图2所示，则定积分?bf(x)dx表示介于x

?a轴．曲线y＝f(x)以及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分曲边梯形面积的代数和，

即?bf(x)dx＝A1＋A3－A2. ?a2．定积分的性质

(1)?bkf(x)dx＝k?bf(x)dx(k为常数)． ?a?a

b(2)?b[f1(x)±f2(x)]dx＝?bf1(x)dx±?f2(x)dx. ?a?a?a(3)?bf(x)dx＝?cf(x)dx＋?bf(x)dx(其中a

一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x)．那么?bf(x)dx

?a＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．

辨 析 感 悟

1．关于定积分概念的理解

(1)定积分概念中对区间[a，b]的分割具有任意性．(√)

nb－a

(2)当n→＋∞时，和式?f(ξi)·Δx＝? nf(ξi)无限趋近于某一确定的常数．(√)

i＝1i＝1(3)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则?bf(x)dx＝?bf(t)dt.(√)

?a?a2．定积分的几何意义与物理意义

(4)在区间[a，b]上的连续的曲线y＝f(x)和直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0所围成的曲边梯形的面积S＝?b|f(x)|dx.(√)

?a

(5)若?bf(x)dx<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴

?a下方．(×)

(6)(教材习题改编)已知质点的速度v＝10t，则从t＝0到t＝t0质点所经过的路程是s＝

＝5t20.(√)

n

3．定积分的性质及微积分基本定理 (7)若f(x)是连续的偶函数，则

＝2??f(x)dx.(√)

0a

(8)若f(x)是连续的奇函数，则＝0.(√)

(9)(2013·湖南卷改编)如果?Tx2dx＝9，则常数T＝3.(√)

?0[感悟·提升]

1．一种思想 定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”步骤解决“无限”问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”．定积分只与积分区间和被积函数有关，与积分变量无关，如(2)、(3)．

2．一个定理 由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由1

此可知，求导与积分是互为逆运算，如(9)中，可确定一个原函数F(x)＝3x3，进而求T.

3．两点提醒 一是重视定积分性质在求值中的应用，如(7)、(8)．

二是区别定积分与曲边梯形面积间的关系，定积分可正、可负、也可以为0，是曲边梯形面积的代数和，但曲边梯形面积非负，如(4).

学生用书第46页

考点一 定积分的计算

【例1】 (1)若A．－1 C.3

(2)定积分?39－x2dx的值为________．

?0(3)已知函数f(x)＝sin5x＋1，则

的值为________． ＝2，则实数a等于( )．

B．1 D．－3

解析 (1)∵(asin x－cos x)′＝sin x＋acos x，

ππ??

＝?asin 2－cos 2?－(asin 0－cos 0)＝a＋1， ??∴a＋1＝2.∴a＝1.

223(2)由定积分的几何意义知，直线x＝0，x＝3，?9－xdx是由曲线y＝9－x，

?0

y＝0围成的封闭图形的面积．故?3

?0

π·329π

9－xdx＝4＝4.

2

9

答案 (1)B (2)4π (3)π

规律方法 (1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加． (2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分． (3)若y＝f(x)为奇函数，则【训练1】 (1)定积分(2)(2014·广东六校模拟)

?1?

解析 (1)∵?3x3－cos x?′＝x2＋sin x，

??

2?13??

??＝?3x－cos x??－1＝3.

?

是由曲线y＝

1－x2，直线x＝－1，x

1

＝0.

＝________. ＝________.

∴

(2)由定积分的几何意义知，

＝0，y＝0围成的封闭图形的面积，故2π

答案 (1)3 (2)4 π·12π＝4＝4.

考点二 利用定积分求平面图形的面积

【例2】 (1)已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为( )．

2πA.5 3C.2

4B.3 πD.2

4

(2)曲线y＝x2与直线y＝kx(k>0)所围成的曲边图形的面积为3，则k＝________. 审题路线 (1)先求二次函数f(x)的解析式，再利用定积分的几何意义求面积．(2)先求交点坐标，确定积分区间，再利用定积分的几何意义求面积． 解析 (1)设f(x)＝a(x＋1)(x－1)(a<0)．

因为f(x)的图象过(0,1)点，所以－a＝1，即a＝－1. 所以f(x)＝－(x＋1)(x－1)＝1－x2. 所以S＝

1

2

(1x)dx ＝2?－?

01

1?4?13???

x－x1－????＝2＝2＝. 3??3??0??3

2????y＝x，?x＝0，?x＝k，(2)由?得?或?

2

????y＝kx，?y＝0?y＝k，

则曲线y＝x2与直线y＝kx(k>0)所围成的曲边梯形的面积为?k(kx－x2)dx＝

?0