《创新设计高考总复习》配套学案：定积分与微积分基本定理(3)

1A.2 3C.2

解析 由题意知S＝答案 D

B．1 D.3

3?3??＝2－?－2??＝3.

??π??

3．(2014·广州模拟)设f(x)＝?sin tdt，则f?f?2??的值等于

?????0

x

( )．

A．－1 C．－cos 1 ?π?

?解析 ∵f??2?＝

1

B．1 D．1－cos 1 ＝1，

???π??

∴f?f?2??＝f(1)＝?1sin tdt＝(－cos t)?＝1－cos 1. ?????0?

0

答案 D

1

4.如图所示，曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1及y＝4，所围成的图形(阴影部分)的 面积为

( )．

2A. 31C.2

2

1B. 31D.4

111

解析 由x＝4，得x＝2或x＝－2(舍)，则阴影部分的面积为S＝

＝

1

?1?

1?1?113??2?1

?4x－3x??＋?3x3－4x??＝14. ?????

?0?2

答案 D

?10，0≤x≤2，

5．一物体在力F(x)＝?(单位：N)的作用下沿与力F(x)相同的方

?3x＋4，x>2向运动了4米，力F(x)做功为 A．44 J C．48 J

B．46 J D．50 J

( )．

解析 力F(x)所做的功为?210dx＋?4(3x＋4)dx＝20＋26＝46(J)．

?0?2答案 B 二、填空题

6．已知2≤?2(kx＋1)dx≤4，则实数k的取值范围是________．

?13?12??2kx＋x???解析 ∵?(kx＋1)dx＝2＝2k＋1，

???1?

1

2

32

∴2≤2k＋1≤4，∴3≤k≤2. ?2?答案 ?3，2?

??

7.如图所示，是一个质点做直线运动的v－t图象，则质点在前6 s内的位移为________ m.

解析 由题图易知 3??4t，0≤t≤4，v(t)＝?3

9－??2t，4

3?3?

∴s＝?6v(t)dt＝?44t dt＋?6?9－2t?dt

??0?0?4?3??3??

＝8t2?＋?9t－4t2??＝6＋3＝9.

???4?0答案 9

1

8．(2013·江西卷改编)若S1＝?2x2dx，S2＝?2xdx，S3＝?2exdx，则S1，S2，S3的大

?1?1?1小关系为________．

1?7

解析 S1＝?2x2dx＝3x3?＝3，

?1?

1

2

4

6

1

S2＝?2xdx＝ln 2，S3＝?2exdx＝e2－e，

?1?17

∵e2－e＝e(e－1)>e>3>ln 2， ∴S2＜S1＜S3. 答案 S2＜S1＜S3 三、解答题

9．已知f(x)在R上可导，f(x)＝x2＋2f′(2)x＋3，试求?3f(x)dx的值．

?0解 ∵f(x)＝x2＋2f′(2)x＋3，∴f′(x)＝2x＋2f′(2)， ∴f′(2)＝4＋2f′(2)，∴f′(2)＝－4，∴f(x)＝x2－8x＋3. ?1??

∴?3f(x)dx＝?3x3－4x2＋3x??＝－18.

???0?

0

3

10．求曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x围成的图形的面积．

解 作出曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x的图象，所求面积为图中阴影部分的面积．

2

?y＝x，

解方程组?得交点(1,1)，

?y＝x，2

?y＝x，

解方程组?得交点(3,9)，

y＝3x，?

因此，所求图形的面积为 S＝?1(3x－x)dx＋?3(3x－x2)dx ?0?1＝?12xdx＋?3(3x－x2)dx ?0?1?＝x2?

?0

1

?3213??＋?2x－3x?? ???1

3

?3213??3213?×3－×3×1－×1???? ＝1＋2－33???2?13

＝3.

能力提升题组 (建议用时：25分钟)

一、选择题 1．若??

?1?A．2 C．4

a

a?2x＋

1?

dx＝3＋ln 2(a>1)，则a的值是 x??

B．3 D．6

( )．

1???

解析 ?a?2x＋x?dx＝(x2＋ln x)?＝a2＋ln a－1，

??1??

1

∴a2＋ln a－1＝3＋ln 2，则a＝2. 答案 A

2．(2014·郑州调研)如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y＝x2和曲线y＝x围成

一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC

内任何一点是等可能的)，

则所投的点落在叶形图内部的概率是

1A.2 1C.4

1B.6 1D.3

10

( )．

2

解析 依题意知，题中的正方形区域的面积为1＝1，阴影区域的面积等于??(x

－x)dx＝答案 D 二、填空题

2

11

＝3，因此所投的点落在叶形图内部的概率等于3.

3．(2014·广州调研)若f(x)＝则f(2 014)＝________.

解析 当x>0时，f(x)＝f(x－4)，则f(x＋4)＝f(x)， ∴f(2 014)＝f(2)＝f(－2)，

1

＝3，

又∵

17

∴f(2 014)＝f(－2)＝2－2＋3＝12. 7

答案 12 三、解答题

4.如图所示，过点A(6,4)作曲线f(x)＝4x－8的切线l.

(1)求切线l的方程；