力法求解超静定结构的步骤(4)

例4：AB、CD段EI，BC段2EI，AD段EA=无穷大。

=

+

§7-6超静定结构的位移计算

一、位移计算的基本公式：

平面杆件结构在荷载单独作用下的位移公式：虚单位荷载法

kQQpN.NPMMP?kp??(?ds??ds??ds)

EAGAEI这个公式适用于静定结构，也适用于超静定结构

1、对于静定结构：公式中内力分别为静定结构内力求解，简单。 2、对于超静定结构：

MP、NP、QP：原超静定结构在外荷载作用下的内力。

M、N、Q：原超静定结构在虚加单位荷载（和所求的实际广义位移对应）作用下的内力。

两次用力法求解超静定结构，麻烦。——直接法 例：

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二、替代法（结合例子）

静定基本结构在原荷载及多余力共同作用下←→（受力状态、内力、变形相同→位移相同）原超静定结构

将多余力当作静定基本结构的外因，先用力法求出这些多余力，利用两者等效的依据，将超静定结构的位移计算问题→静定基本结构的位移计算问题。 结论：

实际内力MP、NP、QP：静定基本结构在原荷载及所有多余力共同作用下的内力（原超静定结构的最后内力）。

虚内力M、 原结构的任一静定基本结构在虚加单位荷载（和所求广义位移对N、Q：应）作用下的虚内力。

注：1、由于计算超静定结构可以采用不同的基本结构，则计算同一位移时，单位内力图不只一种，但所采用的单位MK图虽不同，求得的位移是唯一的。

2、在求超静定结构的某一位移时，虚加单位荷载可以施加于任一基本结构作为虚力状态，计算时以简单为原则，使MK图简单。 例题：

AFP l/2 EI B已知：M图。

求：B点的转角和竖向位移。

l/2 解

?B?1FPllFl(?l??P)?0EI824FPl/8 M图

AFP FPl/8 B?BV?Fll1Fl1l(?P???P?l?)EI82242?01 M1图l 1 用这种方法可以验算原结构的弯矩图是否正确

M2图

1

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§7-7最后内力图校核

1、校核的必要性：

1）超静定结构的计算过程长，运算比较繁琐、易出错。所得的最后内力图很可能是错误的，而最后内力图是结构设计的主要依据，则有必要对最后内力图进行校核，以保证其正确性。

2）最后内力图是结构设计的主要依据。

2、校核的依据（前提）为便于校核，计算步骤应十分清楚，有人作业做题字迹太草，步骤不清，一步一步没有明确答案，水平有限，看不懂，错了也不知道错在何处。

每步要细心 3、校核的前提（依据）

正确的内力图应同时满足平衡条件和位移条件 4、校核的内容 1）平衡条件的校核

从结构中任意取出一部分（一个结点、一段杆件、局部结构）作隔离体，隔离体所受力系（力、力矩）均应满足平衡条件。

2）位移条件的校核：由最后内力图计算结构的任一位移应和实际相符。

根据所求的最后内力图，求原结构任意已知位移，比较其结果。（验证其正确性） 超静定结构的最后内力图是由静力平衡条件和变形协调条件（位移）共同得到的，所以不仅要校核平衡条件，还必须校核位移条件。而且力法计算主要在位移计算方面，则校核也应为重点（也就是位移条件校核更重要）。

位移条件校核的一般作法是：任意选取一个基本结构，任意选一个多余未知力Xi，然后根据最后的内力图算出沿Xi方向的位移Δi，并检查Δi是否与原结构中的相应位移相等。

例：F处左右两侧截面的相对转角是否为0。

推论，有一重要特性：沿刚架的任一无铰封闭框格，

M图的总面积等于0。例： EI??EIds?0?任何封闭框格

M 18

MEI有时应用这个性质校核位移条件十分方便。例，直接就看这一封闭框格DABE，图的总面积等于0。 3）内力图特性

例：

§7-8温度变化时超静定结构的计算

静定结构：温度改变时，结构自由伸长及弯曲而不受到任何阻碍

超静定结构：温度改变时，梁的变形将受到限制，因此必将产生支座反力和内力。 一、

温度变化时超静定结构的内力计算：

结合例子：

采用力法计算步骤：1、选择基本结构：同

2、列力法方程：同

3、系数及自由项的计算：只时自由项?it此时分别指基本结构由于温度改变引起的沿Xi方向的位移。

?it??Ni?tl????th?Mds

i4、代入求出基本未知量：同

5、叠加原理求内力：M??XiMi?Mt??XiMi（Mt=0，温度改变不使基本结构产生内力）

二、温度变化时超静定结构的位移计算

?t??N?tl????th?Mds???MMds EI19

§7-9支座移动时超静定结构的计算

静定结构：支座移动时产生刚体位移

超静定结构：支座移动时结构产生内力并产生弯曲变形 一、

支座移动时超静定结构的内力计算：

结合例子：

采用力法计算步骤：1、选择基本结构：同

2、列力法方程：同

3、系数及自由项的计算：只时自由项?it此时分别指基本结构由于支座移动引起的沿Xi方向的位移。

?i????Ri.C

4、代入求出基本未知量：同

5、叠加原理求内力：M??XiMi?M???XiMi（M??0，支座移动不使基本结构产生内力）

二、支座移动时超静定结构的位移计算 单位荷载法：?????R.C???MM?ds EI注：超静定结构在支座位移影响下内力的计算。 例1：EI=constant（无P或有P共同作用）

两种计算方法：

1、?11X1??1P??A

2、?11X1??1P??1C?0，?1C???Ri?Ci

两种方法完全等效。

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§7-10超静定结构的几个特性

一、静定结构：仅在荷载作用下结构产生内力。温度改变时，结构自由伸长及弯曲而不

受到任何阻碍；

超静定结构：除荷载外，因制造误差、支座沉降、温度改变等原因，引起超静定结构产生内力－初应力、原始应力（由于多余联系的存在）

利：如连续梁，可以通过改变支座的高度来调整梁的内力，以得到更合理的内力分析； 弊：如连续梁可能由于地基不均匀沉降而产生过大的附加内力。

二、静定结构：内力只按平衡条件即可求解，与材料性质及截面尺寸无关；

超静定结构：仅由平衡条件不能确定多余约束的反力，还需运用变形条件；其值与材料性质及截面尺寸有关

弊：由于设计前不知道截面的尺寸，计算超静定结构内力前只能靠估算截面尺寸，以此来计算内力，然后按算出的内力再选择所需的截面，再对估算截面进行调整。——设计超静定结构过程较复杂

利：通过改变各杆的刚度大小来调整超静定结构的内力分析，以达到预期的结果。 三、防御能力：超静定结构在多余联系被破坏后，仍能维持几何不变；而静定结构在任何一个联系破坏后，立即成为几何可变体系而失去承载能力——军事及抗震方面 四、超静定结构由于多余联系的存在，其刚度较大，其内力分布较均匀些，变形曲线也较平缓。

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