力法求解超静定结构的步骤(3)

§7-5对称性的利用

在建筑工程中，我们可以见到许多的对称结构，我觉得中国人喜欢对称这两个字：历代帝王所建皇（寝）宫是对称的，死后所建坟墓也是对称的。典型的对称建筑是北京天安门周围的建筑群，据说连故宫两侧多少块砖也是一样的，又如中山陵，西安古城墙。现代高层建筑也是对称结构。尤其一些庄重、重要的建筑。再看我们学校：主体建筑基本对称，从主楼→图书馆（各楼本身对称）。

对于对称结构，我们可以利用其对称性进行简化计算。 一、对称结构， 包括两方面含义：

1）结构的几何形状和支承情况对某轴对称；

2）杆件截面尺寸和材料性质也对此轴对称，也就是EA、EI、GA也关于对称轴对称，例。简单地将结构沿对称轴线对折，两边部分完全重合。双对称、多对称。

二、对称结构简化计算：

1、选取对称的基本结构：（结合图形）

(解释：对任一对称结构受任意荷载P作用，若用力法计算，无论你基本结构如何选取，力法方程是

相同的。

?11X1??12X2??13X3??1P?0?21X1??22X2??23X3??2P?0 ?31X1??32X2??33X3??3P?0步骤：（1）三超；（2）用三个多余力代替多余联系，基本结构；（3）力法方程；（4）求系数和自由项；（5）求Xi；（6）静定方法或叠加法求最后内力；（7）校核。

在这一计算过程中，哪些地方有可能进行简化计算？（从属、本身无法简化许多）。2）、4） 也就是有两步可能得到简化，a、选一合适的基本结构，使计算简单；b、想办法使副系数等于0（δii>0，Δip和荷载有关）或Δip=0。

对于对称结构，这两点均可能实现： a） 取原结构的一半进行计算，半刚架法；

b）在特定条件下，使一些副系数，甚至全部副系数为0，Δij=0。)

①多余未知力: 正对称力（对折后，重合、大小、方向、作用点相同）、X1、X2

反对称力（对折后，大小、作用点相同，方向相反）、X3

②M1、M2：正对称；M3：反对称图形；

③系数和自由项：在对称的基本结构上，对称单位力或反对称单位力引起的单位内力图

Mi会是正对称或反对称的图形，正反图乘会使副系数为0

?13??31?0?23??32?0 ④简化的力法方程：

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?11X1??12X2??1P?0

?21X1??22X2??2P?0?33X3??3P?0

结论1：力法方程分成两组，一组仅含对称多余力，一组仅含反对称多余力

（注意上面的简化和荷载无关，如果荷载是对称或反对称的，可进一步简化。）

2、对称结构在对称荷载作用下： ①MP：正对称；

②?3P?0 因此：X3=0

结论2：对称结构在对称荷载作用下，反对称的多余力为0，只有正对称的多余未知力，结构的反力、内力和变形是正对称的。

3、对称结构在反对称荷载作用下： ①MP：反对称；

②?1P?0 ?2P?0 因此：X1=0、X2=0

结论3：对称结构在反对称荷载作用下，正对称的多余力为0，只有反对称的多余未知力，结构的反力、内力和变形是反对称的。

4、任何对称结构受非对称荷载作用时：

结论4：可以将非对称荷载分解成对称荷载和反对称荷载，然后分别计算，最后叠加

这是对称结构进行简化计算的四点结论，可以直接应用。

三、半结构计算法：（结合图形）

1）奇数跨（1、3、5、7…）的对称结构 a、对称荷载（从变形图和内力特征）

有竖向滑动线位移。

对称轴上有竖向线位移无转角和水平线位移；

对称轴上截面：有M、N无Q，相当于定向支承（滑动支座），抵抗弯矩、横向力，

求出左半刚架的内力和位移后，再由对称性直接作出右半刚架的内力（图），位移。

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b、反对称荷载

在对称轴上截面：无竖向线位移，有水平线位移和转角，内力只有Q、无 相当于竖向支承链杆，其他奇数跨的半边结构也可类似选取。

2）偶数跨（2、4、6.3…） a、对称荷载

M、N。

对称轴C截面上：（竖柱左侧）相当于一个固定端，无转角，水平线位移。

中间有竖柱，略去轴向变形?C处无竖向线位移，C处有M、Q、N，中柱只有N，无M、Q，由C两侧Q求N中。

b、反对称荷载

对称轴C截面上：竖柱CF无N及轴向位移，但有M及弯曲变形。假象将中间柱分成两根分柱，分柱的抗弯刚度为原柱的一半（为什么？）

两根半柱分别在对称轴的两侧与横梁刚结相当于在两根分柱中间增加一小跨，但其跨度为0；变成奇数跨，将两分柱之间横梁截开，由于荷载反对称，只有剪力QC，无M、N无竖向位移，这一对QC将仅使对称轴两侧的分柱分别产生大小相等，性质相反的轴力。

而中间柱的内力=两根分柱内力之和，因而QC产生的轴力正好相互抵消，也就是：

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QC对原结构的内力及变形无任何影响，故可略去，取半结构如下：

从变形分析：因忽略轴向变形影响，C处的竖向支杆可以取消。中间柱的总内力：M、Q是分柱的两倍，N=0。

从上可以看出半边结构选取的原则：在对称轴相应的截面截断处设置一个相应的支座，使所选的半边结构在对称轴处的截面位移或内力和原结构相应的位置保持一致。也就是保持变形和内力协调一致。 半边结构计算时：

a、对称或反对称荷载作用下的奇、偶跨超静定梁、刚架直接取相应的半结构计算，作出M、N、Q图（半），再由对称或反对称的性质作出另一半的。

b、对称结构受任意荷载作用时，对称+反对称，分别取半结构计算出最后的内力图，再叠加。

① 奇数跨对称刚架：

对称荷载作用下，只产生对称的内力和位移，C处不发生角位移和水平线位移，该截面上只有M、N，而无Q。——定向支座。

反对称荷载作用下，只产生反对称的内力和位移，C无竖向位移，但有水平位移及角位移，相应地只有Q，而无M、N。——活动铰支座。

② 偶数跨对称刚架：

对称荷载作用下，只产生对称的内力和位移，C处不发生角位移和水平线位移，也无竖向位移的产生。——固定支座。

反对称荷载作用下，将其中间柱设想为由两根刚度各为I/2竖柱组成，它们在顶端分别与横梁刚结。由于荷载是反对称的，将此两柱中间的横梁切开，切口上只有剪力。这对剪力将只使两柱分别产生等值反号的轴力而不使其他杆件产生内力。而原结构中间柱的内力是等于该两柱内力之和，故剪力实际上对原结构的内力和变形均无影响。因此可将其去掉不计，取半结构进行计算。

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例1：

例2 ：AC、BD段EI=常数，CD杆EA=无穷大。

例3：AC段线刚度为i，CD段线刚度为2i，BD段A=I/4。

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