电动力学 - 郭芳侠 - 电磁波的辐射(1)(4)

??右方第一项

?04??0J?'?()dV'??Vr4??1rV(?'?J)t'?cdV'

?J(r',t')??'??dV'??V?r??J(r',t')?sr?ds'??sJnds ⑧

由于V是包含了所有电荷电流得区域，在V的边界面S上J的法向分量

Jn?0，结果上式变为需，于是由⑧式得

??A?将②式与⑨合并，便得

?01(?'?J)t'?cdv'? ⑨ ?v4?r1???01??????A??(?'?J)?dV'? ⑩ ?V??t'?c?t'?c2?t4?r?由电荷守恒定律，有

(?'?J)t'?c????t'?0

式中t'是x'点的局域时间，由以上两式，得

1????A?2?0

c?t由此可见，只要电荷守恒定律成立，则推迟势A和?就满足洛伦兹条件． 易犯错误 本题主要是逻辑推理过程，其中大量运用了算符对符合函数的微分，此算符的运算过程易出错，例如认为??J(x,t')?0，?'?J(x',t')??J(x,t')，其实这里t'也是x和x'的函数．

35.如图5-2,一电偶极矩为P0的偶极子与Z轴夹角为?，以角频率?绕Z轴旋转，计

算辐射场与平均能流密度.

解: 将电偶极矩P0分解为互相垂直的电偶极子

z P0 Px,Py,Pzp?p0(sin?cos?tex?sin?sin?tey?cos?ez)

写成复数形式为 p?p0sin?(ex?iey)e?i?t? ?p0cos?ez

x ? 图5-2 y p???2p0sin?(ex?iey)e?i?t 将ex,ey用球坐标表示

p???2p0sin?(sin?er?cos?e??ie?)e?i?t?? 于是辐射场

eikRB?p?er 34??0cR??p0sin?i(kR??t??)e(?ie??cos?e?)34??0cR2

E?cB?er ?2p0sin2?i(kR??t??)?e(cos?e?ie)??4??0c2RS? ?12?0c2?0Re(E?B)(B?B)eR**

?4p02sin2? ?(1?cos2?)eR23232??0cR36.半径为R0的均匀永磁体，磁化强度为M0，球以恒定角速度?绕通过球心而垂直于M0的铀旋转，设R0?解: 由于R0?c，求辐射场和能流．

c，即R0?，辐射可认为是偶极辐射，此题实际上是求解旋

转的磁偶极矩的辐射场，只要将此体系的磁矩表示两个互相垂直的振荡磁偶极子磁矩之和，求出M及M，便可得到和．

如图5-3所示，以球心为原点，以转轴z为轴，建立球坐标系，旋转的磁矩可分解为两个互相垂直，相差?为的线振动． 2m?m0(ex?iey)e?i?t ①

4式中m0??R03M0，是磁体的总磁矩．

3由附录中直角坐标系矢量与球坐标系矢量的变换

图 5-3

ex?sin?cos?eR?cos?cos?e??sin?e? ey?sin?cos?eR?cos?cos?e??cos?e?

代入①中，得

m?m0(cos??isin?)(sin?eR?cos?e??ie?)e?i?t ?m0(sin?eR?cos?e??ie?)e?i(?t??) ②

m???2m???2m0(sin?eR?cos?e??ie?)e?i(?t??) ③ 利用电偶极辐射公式，，作以下代换

p?m, E?cB ,cB??Eb2?4ac c即得磁偶极辐射

?0eikRB?(m?eR)?eR4?c2R ④ 23??R ?020(cos?e??ie?)ei(kR??t??)3cRE?cB?eR ?平均能流

?0?2R03M03cR12?0c2?0*(ie??cos?e?)ei(kR??t??) ⑤

S? ? ?Re[E?B](B?B)eR(1?cos2?)eR* ⑥

?0?4R06M0218c2R易犯错误 将磁矩m分解为m?m0(ex?iey)e?i?t，这里虽然两振动互相垂直，但相位相同，因此合成振动不是圆振动，而这里的末端在旋转过程中的轨迹曲线为圆．

由结果可知，若磁体不旋转??0，则E?0，B?0，即静止的磁体不会产生辐射场，但可产生稳恒磁场．

37.带电粒子e作半径为a的非相对论性圆周运动，回旋频率为?，求远处的辐射电磁场和辐射能流．

解: 由于粒子作非相对论性圆周运动，v??ac，即a?，可看作电偶极辐射，带电粒子做圆周运动，相当于一个旋转电偶极子，电偶极矩振幅p0?ea，与上一题方法相似，将电偶极矩p分解为两个振动互相垂直，相位差为电偶极子，求解出p，便可得B，E.将t时刻电偶极矩分解为

?的振荡2p?p0(ex?iey)e?i?t ①

由于 ex?sin?co?seR??cos?c?eo?s in??esey?sin?cos?eR?cos?cos?e??cos?e?

代入①式，得

p?p0(cos??isin?)(sin?eR?cos?e??ie?)e?i?t ?p0(sin?eR?cos?e??ie?)e?i(?t??)图 5.3

②

p???2p???2p0(sin?eR?cos?e??ie?)e?i(?t??) ③

将③代入到电偶极子辐射场公式

eikRB?p?eR ,E?cB?eR 34??0cR得

?0?2p03B?(?ie??cos?e?)ei(kR??t??)

4?cR?0?2p03E?(cos?e??ie?)ei(kR??t??)

4?RS? ?12?0c2?0Re(E?B)(B?B)eR**

?0?4p02 ?(1?cos2?)eR2232?cR式中p0?ea．

38.设有一电矩振幅为P频率为?的电偶极子距理想导体平面为a／2处，P0，0平行于导体平面．设a?，求在R?处电磁场及辐射能流．

解: 此题中，a?，故导体表面附近场为似稳场，理想导体上出现表面电流，根据电像原理，理想导体平面对场的影响可以用电像偶极子p代替，如图5.4a，所求的电磁场和辐射能流便是这两个电偶极子p和p产生的辐射场的叠加．

''

解: 选取坐标系如图5.4b使电像偶极子p位于坐标原点O，并沿x轴的负方向，原电偶极子p位于z轴上的z?a处，则根据振荡电偶极子产生的辐射场的公式，产生的辐射场的磁感强度为

'?0p'(t')?eR4?cR?0d2?i?t ?[Pe(?ex)]?eR0'24?cRdt

)?0?2P0?i?(t?Rc ?eex?eR4?cR?0?2P0e?i(kR??t) ?ex?eR4?cRB1(R,t)?'p产生的辐射场的磁感强度为

B2(R,t)?因为R?0p'(t')?eR 4?cR22a，故R2?R，eR2?eR

于是，有

?0B2(R,t)?p'(t')?eR4?cR?0d2?i?t ?[Peex]?eR 0'24?cRdt?0?2P0e?i?t ??ex?eR4?cR''式中